1 如图，已知点p是平行四边形abcd所在平面外的一点，e，f分别是pa，bd上的点且pe∶ea?bf∶fd，求证：ef//平面pbc．
2 如图，空间四边形
，平行于与的截面分别交、ac、cd、bd于e、f、g、
h．
求证：四边形egfh为平行四边形；
3如图，？∥？∥？，直线a与b分别交？，？，？于点a，b，c和点d，e，f， 求证：
abde?． bcef第 7 页
4如图所示，在棱长为a的正方体abcd?a1b1c1d1中，q分别是bc，c1d1，e，f，p，
ad1，bd的中点．
（１） 求证：pq//平面dcc1d1． （２） 求pq的长．
（３） 求证：ef//平面bb1d1d．
5 如图，在正方体abcd?a1b1c1d1中，e，f，g，h分别棱是cc1，c1d1，d1d，
cd的中点，n是bc的中点，点m在四边形efgh及其内部运动，则m满足
时，有mn//平面b1bdd1．
6 如图，m、n、p分别为空间四边形abcd的边ab，bc，cd上的点，且am∶mb?∶nb?cp∶pd．
求证：（１）ac//平面mnp，bd//平面mnp； （２）平面mnp与平面acd的交线//ac．
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7如图，在正方体abcd?a1b1c1d1中，求证：平面a1bd//平面cd1b1．
8 图，在四棱锥p?abcd中，abcd是平行四边形，m，n分别是ab，pc的中点． 求证：mn//平面pad．
9如图，正三棱柱abc?a1b1c1的底面边长是2，3，d是ac的中点。求证：b1c//平面a1bd.
10 。如图，在正四棱锥p?abcd中，pa?ab?a,点e在棱pc上． 问点e在何处时，pa//平面ebd，并加以证明。
a
p
ae
c
b
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怎样证明面面平行
线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行如果一条直线和一个 https:/// 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
2
证明：∵平面α∥平面β
∴平面α和平面β没有公共点
又a在平面α上，b在平面β上
∴直线a、b没有公共点
又∵α∩γ=a，β∩γ=b
∴a在平面γ上，b在平面γ上
∴a∥b.
3
用反证法
命题：已知α∥β，ab∈α，求证：ab∥β
证明:假设ab不平行于β
则ab交β于点p，点p∈β
又因为p∈ab，所以p∈α
α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以ab∥β。
4
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个
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用反证法
命题：已知α∥β，ab∈α，求证：ab∥β
证明:假设ab不平行于β
则ab交β于点p，点p∈β
又因为p∈ab，所以p∈α
α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以ab∥β。