一、选择题
1、若直线l的倾斜角为120°，则这条直线的斜率为（ ）
A.3 B.-3
C.33 D.-33
【解析】 k=tan 120°=-3.
【答案】 B
2、（2013•泉州高一检测）过点M(-2，a)，N(a,4)的直线的斜率为-12，则a等于（ ）
A.-8 B.10
C.2 D.4
【解析】 ∵k=4-aa+2=-12，∴a=10.
【答案】 B
3、若A(-2,3)，B(3，-2)，C(12，m)三点在同一条直线上，则m的值为（ ）
A.-2 B.2
C.-12 D.12
【解析】 ∵A，B，C三点在同一条直线上，
∴kAB=kAC，
即-2-33-(-2)=m-312-(-2)，
解得m=12.
【答案】 D
4、直线l过原点，且不过第三象限，则l的倾斜角α的取值集合是（ ）
A.{α|0°≤α<180°}
B.{α|90°≤α<180°}
C.{α|90°≤α<180°或α=0°}
D.{α|90°≤α≤135°}
【解析】 不过第三象限，说明倾斜角不能取0°<α<90°，即可取0°或90°≤α<180°。
【答案】 C
5、（2013•西安高一检测）将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为（ ）
A.54 B.45
C.-54 D.-45
【解析】 设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a+4，b-5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k=b-5-ba+4-a=-54.w
【答案】 C
二、填空题
6、直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，(m∈R)。那么直线l的倾斜角的取值范围为________.
【解析】 k=m2-11-2=1-m2≤1，∴倾斜角0°≤α≤45°或90°<α<180°。
【答案】 0°≤α≤45°或90°<α<180°
7、已知三点A(2，-3)，B(4,3)，C(5，k2)在同一直线上，则k=________.
【解析】 kAB=3-(-3)4-2=3，kBC=k2-35-4=k2-3.
∵A、B、C在同一直线上，
∴kAB=kBC，即3=k2-3，解得k=12.
【答案】 12
8、若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a+1b的值等于________.
【解析】 ∵A、B、C三点共线，∴0-2a-2=b-20-2，
∴4=(a-2)(b-2)，
∴ab-2(a+b)=0，∵ab≠0，
∴1-2(1a+1b)=0，∴1a+1b=12.
【答案】 12
三、解答题
9、求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。
(1)A(0，-1)，B(2,0)；
(2)P(5，-4)，Q(2,3)；
(3)M(3，-4)，N(3，-2)。
【解】 (1)kAB=-1-00-2=12，
∵kAB>0，∴直线AB的倾斜角是锐角。
(2)kPQ=-4-35-2=-73.
∵kPQ<0，∴直线PQ的倾斜角是钝角。
（3）∵xM=xN=3.
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°。
10、（2013•郑州高一检测）已知直线l的倾斜角为α，且tan α=±1，点P1(2，y1)、P2(x2，-3)、P3(4,2)均在直线l上，求y1、x2的值。
【解】 当tan α=1时，-3-2x2-4=1，
∴x2=-1，y1-22-4=1，∴y1=0.
当tan α=-1时，-3-2x2-4=-1，
∴x2=9，
y1-22-4=-1，∴y1=4.
11、已知点P（x，y)在以点A(1,1)，B(3,1)，C(-1,6)为顶点的三角形内部及边界上运动，求kOP(O为坐标原点）的取值范围。
【解】 如图所示，设直线OB、OC的倾斜角分别为α1、α2，斜率分别为k1、k2，则直线OP的倾斜角α满足α1≤α≤α2.
又∵α2>90°，
∴直线OP的斜率kOP满足kOP≥k1或kOP≤k2.
又k1=13，k2=-6，
∴kOP≥13或kOP≤-6.
集合的含义与表示练习一
1、对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是（ ）
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x=4t-3，t∈N，且t≤5}
D.{x|x=4s-3，s∈N_，且s≤5}
解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15;B中k取负数，多了若干元素；C中t=0时多了-3这个元素，只有D是正确的。
2、集合P={x|x=2k，k∈Z}，M={x|x=2k+1，k∈Z}，S={x|x=4k+1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有（ ）
A.c∈P B.c∈M
C.c∈S D.以上都不对
解析：选B.∵a∈P，b∈M，c=a+b，
设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，
∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，
又k1+k2∈Z，∴c∈M.
3、定义集合运算：A_B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A_B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.6
解析：选D.∵z=xy，x∈A，y∈B，
∴z的取值有：1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4，
故A_B={0,2,4}，
∴集合A_B的所有元素之和为：0+2+4=6.
4、已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，C={(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C=____________.
解析：∵C={(x，y)|x∈A，y∈B}，
∴满足条件的点为：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)。
答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
集合的含义与表示练习二
1、集合{(x，y)|y=2x-1}表示（ ）
A.方程y=2x-1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案：D
2、设集合M={x∈R|x≤33}，a=26，则（ ）
A.a∉M B.a∈M
C.{a}∈M D.{a|a=26}∈M
解析：选B.(26)2-(33)2=24-27<0，
故26<33.所以a∈M.
3、方程组x+y=1x-y=9的解集是（ ）
A.(-5,4) B.(5，-4)
C.{(-5,4)} D.{(5，-4)}
解析：选D.由x+y=1x-y=9，得x=5y=-4，该方程组有一组解(5，-4)，解集为{(5，-4)}。
4、下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2-1}与集合{(x，y)|y=x2-1}是同一个集合；
(3)1，32，64，|-12|，0.5这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集。
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32=64，|-12|=0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴。
5、下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A.{0} B.{y|y2=0}
C.{x|x=0} D.{x=0}
解析：选D.A是列举法，C是描述法，对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即“x=0”。
6、设P={1,2,3,4}，Q={4,5,6,7,8}，定义P_Q={(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P_Q中元素的个数为（ ）
A.4 B.5
C.19 D.20
解析：选C.易得P_Q中元素的个数为4×5-1=19.故选C项。
集合的含义与表示练习三
1、由实数x，-x，x2，-3x3所组成的集合里面元素最多有________个。
解析：x2=|x|，而-3x3=-x，故集合里面元素最多有2个。
答案：2
2、已知集合A=x∈N|4x-3∈Z，试用列举法表示集合A=________.
解析：要使4x-3∈Z，必须x-3是4的约数。而4的约数有-4，-2，-1,1,2,4六个，则x=-1,1,2,4,5,7，要注意到元素x应为自然数，故A={1,2,4,5,7}
答案：{1,2,4,5,7}
3、集合{x|x2-2x+m=0}含有两个元素，则实数m满足的条件为________.
解析：该集合是关于x的一元二次方程的解集，则Δ=4-4m>0，所以m<1.
答案：m<1
4、 用适当的方法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数；
（2）图中阴影部分点（含边界）的坐标的集合（不含虚线）；
（3）满足方程x=|x|，x∈Z的所有x的值构成的集合B.
解：(1){x|x=3n，n∈Z}；
（2）{(x，y)|-1≤x≤2，-12≤y≤1，且xy≥0}；
(3)B={x|x=|x|，x∈Z}。
5、已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.
解：∵1是集合A中的一个元素，
∴1是关于x的方程ax2+2x+1=0的一个根，
∴a•12+2×1+1=0，即a=-3.
方程即为-3x2+2x+1=0，
解这个方程，得x1=1，x2=-13，
∴集合A=-13，1.
6、已知集合A={x|ax2-3x+2=0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围。
解：①a=0时，原方程为-3x+2=0，x=23，符合题意。
②a≠0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程。
由Δ=9-8a≤0，得a≥98.
∴当a≥98时，方程ax2-3x+2=0无实数根或有两个相等的实数根。
综合①②，知a=0或a≥98.
奇偶性训练题一
1、下列命题中，真命题是（ ）
A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数
B.函数y=x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数
C.函数y=x2是偶函数，且在(-3,0)上为减函数
D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数
解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a<0时，y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C.
2、奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为（ ）
A.10 B.-10
C.-15 D.15
解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.
奇偶性训练题二
2、奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为（ ）
A.10 B.-10
C.-15 D.15
解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8，f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.
3.f(x)=x3+1x的图象关于（ ）
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
解析：选A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称。
4、如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a=________.
解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数，
∴区间[3-a,5]关于原点对称，
∴3-a=-5，a=8.
答案：8
奇偶性训练题三
1、函数f(x)=x的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称。
2、下列函数为偶函数的是（ ）
A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x
C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2
解析：选D.只有D符合偶函数定义。
3、设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
奇偶性训练题四
4、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
解析：选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g(-x)=-x•f(-x)=-x•f(x)=-g(x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数；因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不恒等于0，所以g(-x)=g(x)不恒成立。故g(x)不是偶函数。
5、奇函数y=f(x)(x∈R)的图象点（ ）
A.（a，f(-a)） B.（-a，f(a)）
C.（-a，-f(a)） D.（a，f(1a)）
解析：选C.∵f(x)是奇函数，
∴f(-a)=-f(a)，
即自变量取-a时，函数值为-f(a)，
故图象点（-a，-f(a)）。
6.f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时（ ）
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2 D.f(x)∈R
解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x≤0时，有f(x)≥2.故选B.
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
解析：选D.设F(x)=f(x)f(-x)
则F(-x)=F(x)为偶函数。
设G(x)=f(x)|f(-x)|，
则G(-x)=f(-x)|f(x)|。
∴G(x)与G(-x)关系不定。
设M(x)=f(x)-f(-x)，
∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)为奇函数。
设N(x)=f(x)+f(-x)，则N(-x)=f(-x)+f(x)。
N(x)为偶函数。
不同函数模型测试题一
1、某工厂在2007年年底制订生产计划，要使2017年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为()
A.5110-1B.4110-1
C.5111-1D.4111-1
解析：选B.由(1+x)10=4可得x=4110-1.
2、某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()
A.a>bB.a
C.a=bD.无法判断
解析：选A.∵b=a（1+10%）（1-10%）=a(1-1100)，
∴b=a×99100，∴b
3、甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析：选D.当t=0时，S=0，甲、乙同时出发；甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点。
4、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________.
解析：该函数关系为y=2x，x∈N_.
答案：y=2x(x∈N_)
不同函数模型测试题二
1、某动物数量y（只)与时间x（年）的关系为y=alog2(x+1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到(）
A.300只B.400只
C.500只D.600只
解析：选A.由已知第一年有100只，得a=100，将a=100，x=7代入y=alog2(x+1)，得y=300.
2、马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为()
A.1535.5元B.1440元
C.1620元D.1562.5元
解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1-0.2)2=1000，解得a=1562.5元，故选D.
3、为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y（万亩）是时间x（年数）的一次函数，这个函数的图象是()
解析：选A.当x=1时，y=0.5，且为递增函数。
4、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()
A.13m3B.14m3
C.18m3D.26m3
解析：选A.设用水量为am3，则有10x+2x(a-10)=16x，解得a=13.
5、某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x（年)的函数关系较为近似的是(）
A.y=0.2xB.y=110(x2+2x)
C.y=2x10D.y=0.2+log16x
解析：选C.将x=1,2,3，y=0.2,0.4,0.76分别代入验算。
6、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是()
A.711B.712
C.127-1D.117-1
解析：选D.设1月份产量为a，则12月份产量为7a.设月平均增长率为x，则7a=a(1+x)11，
∴x=117-1.
不同函数模型测试题三
1、某汽车油箱中存油22kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x（分钟）之间的函数关系式为__________________.
解析：流速为22200=11100，x分钟可流11100x.
答案：y=22-11100x
2、某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a•0.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件。则此工厂3月份该产品的产量为________万件。
解析：由已知得0.5a+b=10.52a+b=1.5，解得a=-2b=2.
∴y=-2•0.5x+2.当x=3时，y=1.75.
答案：1.75
3、假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA，那么广告效应D=aA-A，当A=________时，取得值。
解析：D=aA-A=-(A-a2)2+a24，
当A=a2，即A=a24时，D.
答案：a24
4、将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润？并求出这个利润。
解：设每件售价提高x元，利润为y元，
则y=(2+x)(200-20x)=-20(x-4)2+720.
故当x=4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元。
5、燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量。
（1）试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得
0=5log2Q10，解得Q=10，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位。
（2）将耗氧量Q=80代入公式得
v=5log28010=5log28=15(m/s)，
即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
1、下列各组对象不能构成集合的是( )
A.所有直角三角形
B.抛物线y=x2上的所有点
C.某中学高一年级开设的所有课程
D.充分接近3的所有实数
解析 A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性。
答案 D
2、给出下列关系：
①12∈R;②2∉R;③|-3|∈N;④|-3|∈Q.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①③正确。
答案 B
3、已知集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )
A.0∈A B.a=A
C.a∉A D.a∈A【2020高中生寒假专题】
答案 D
4、已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取( )
A.1 B.-1
C.-1和1 D.1或-1
解析 由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.
答案 C
5、设不等式3-2x<0的解集为M，下列正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M
C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M
解析 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可。当x=0时，3-2x=3>0，所以0不属于M，即0∉M;当x=2时，3-2x=-1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案 B
6、已知集合A中含1和a2+a+1两个元素，且3∈A，则a3的值为( )
A.0 B.1
C.-8 D.1或-8
解析 3∈A，∴a2+a+1=3，即a2+a-2=0，
即(a+2)(a-1)=0，
解得a=-2，或a=1.
当a=1时，a3=1.
当a=-2时，a3=-8.
∴a3=1，或a3=-8.
答案 D
7、若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a+|b|b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.
解析 当ab>0时，|a|a+|b|b=2或-2.当ab<0时，|a|a+|b|b=0，因此集合中含有-2,0,2三个元素。
答案 3
8、以方程x2-5x+6=0和x2-6x+9=0的解为元素的集合中所有元素之和等于________.
解析 方程x2-5x+6=0的解为x=2，或x=3，方程x2-6x+9=0的解为x=3，∴集合中含有两个元素2和3，∴元素之和为2+3=5.
答案 5
9、集合M中的元素y满足y∈N，且y=1-x2，若a∈M，则a的值为________.
解析 由y=1-x2，且y∈N知，
y=0或1，∴集合M含0和1两个元素，又a∈M，
∴a=0或1.
答案 0或1
10、设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x.
（1）求实数x应满足的条件；
（2）若-2∈A，求实数x.
解 (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，x≠x2-2x，x2-2x≠3.
解之得x≠-1且x≠0，且x≠3.
（2）∵-2∈A，∴x=-2或x2-2x=-2.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1，∴x=-2.
11、已知集合A含有三个元素2，a，b，集合B含有三个元素2,2a，b2，若A与B表示同一集合，求a，b的值。
解 由题意得2a=a，b2=b，或2a=b，b2=a，
解得a=0，b=0，或a=0，b=1，或a=0，b=0，或a=14，b=12.
由集合中元素的互异性知，
a=0，b=1，或a=14，b=12.
12、数集M满足条件：若a∈M，则1+a1-a∈M(a≠±1且a≠0)。若3∈M，则在M中还有三个元素是什么？
解 ∵3∈M，∴1+31-3=-2∈M，
∴1+(-2)1-(-2)=-13∈M，
∴1+-131--13=2343=12∈M.
又∵1+121-12=3∈M，
∴在M中还有三个元素-2，-13，12.