作为一位无私奉献的人民教师，常常要写一份优秀的教案，借助教案可以更好地组织教学活动。那么你有了解过教案吗？为大家精心整理了勾股定理教案（精选6篇），希望能够帮助到大家。
（一）创设情景
1 动手操作：提议以小组为单位进行一场按要求在方格本上画三角形比赛，要求组内每一位成员完成才算，完成最快的小组为胜。
2 动手测量：每一小组尽量准确地作出相应的一个直角三角形，两直角边长分别为：
第一小组：3和4；第二小组：6和8；第三小组：5和12；第四小组：9和12，并且测量斜边的长度，结果保留整数。
3 议一议：①（显然第一小组获胜）另外几组学生有意见，认为比赛不公平，自己的尺不够长等。教师乘此机会说明设计这个游戏的意图，并把课题引到本节课要学的内容上（同时板书标题探索勾股定理（1））
②讨论测量结果并填写表格
③观察表中后两列的数据，你能发现直角三角形三边长之间的关系吗？
（二）探索新知
1 在充分交流的基础上，得出结论。老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则a2+b2=c2。
说明勾股定理的由来：我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质了。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。而最小的三边都为整数的直角三角形的三边长为3，4，5，因此有勾三，股四，弦五之说。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国古人比毕达哥拉斯发现得早……。
2 探索勾股定理的正确性……。
这节课为了突出勾股定理的发现过程，教师设计了“画一画”“量一量”“算一算”“归纳与概括”等教学环节。先是让学生画出很多形状、大小各不相同的直角三角形，然后让学生分别量出所画直角三角形的三边长，并将测量结果填到事先设计好的表格之中，接下来再要学生计算表中各数据的平方，最后启发学生在表中发现规律，得出勾股定理。勾股定理真是这样发现的吗？“勾股定理”是几何中一个很重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征一三角形中一个角是直角，转化成数量关系一三边之间满足两条直角边的平方和等于斜边的平方，利用它可以解决直角三角形的许多计算问题，是解决直角三角形的主要根据之一，在理论上占有很重要的地位，在实际中有很大的用途。本课难点是引导学生自己动手得出勾股定理的证明，组织学生自己动脑动手解决问题，通过实践、猜想、拼图、证明等操作使学生深刻感受数学知识的发生发展过程。但从活动过程来看，学生做了些什么呢？从表面上看，这种教学方式也注重让学生独立思考，发现规律，获取知识。但仔细分析，在整个学习过程中，学生只是执行教师命令的操作员，就好象一台台电脑，教师编好程序，点击鼠标，他们就开始工作。这样的教学如果从掌握知识的角度来说，的确省时、高效，可是从“发展学生自主获取知识的能力”的角度进行分析，可以发现，留给学生自主探究的空间过于狭窄。在学习的过程中，学生的思维活动连一点“旁逸斜出”的机会都没有，创新精神的培养更是无从谈起。因此这样的教学是残缺的，令人遗憾的，忽视活动中的思维含量，一味的强调感知与操作，势必使感知与操作变成机械的体力劳动。除了简单、机械的重复劳动外，恐怕就再也没有什么了。固然，操作、感知是人们认识某些数学对象、获得某些数学结论所需要经历的过程，但是，忽视活动中的思维含量，一味的强调感知与操作，势必使感知与操作变成机械的体力劳动。
在教学中许多问题是无法预设到的，因为学习活动的主体是学生，且每个学生的知识、经验、思维、灵感、兴趣都不尽相同，因此学习活动中会呈现出丰富性、多变性和复杂性，就是我们平常所说的“非预设生成”。新课程实施以来，我们深刻体会到非预设性生成是学生智慧与创造力的最佳体现，教师如果引导得当，会使教学更富有灵性。
二、案例描述
教学片段1：（课堂引入）
师：同学们，今天我们要学习一个古老的定理，古老是因为它有5000多年的历史，它是数形结合的代表，是用数学方法来解决几何问题的基础桥梁。
生1：我知道，是勾股定理。
生2：a2+b2=c2，它是直角三角形三边之间的关系。
生3：这个定理相传是古代一个叫商高的学者发现的。
学生的小声议论，使教师原先精心设计的各个精妙的教学环节与预先设计好的精心提问一下子全泡汤了。此时，有些不自然的我赶紧掩盖住自己的情绪，略带兴奋地说：“对，今天老师要给你们介绍的就是勾股定理，那现在请知道勾股定理的同学举一下手。”
结果全班有半数的学生举起了手。接着我问道：“你们是怎么知道的呢？”“从书上看来的？”学生答道。“那么你知道书上的这个结论是怎么得出的吗？”我接着问。“不知道。”
这时我及时肯定：“大家说的结论是正确的，你们能提前预习，这种主动学习的精神值得肯定，可是大家却不知道这个规律是怎么得出的，大家想不想自己动手设计方案来验证结论？”
“想！”同学们异口同声地回答。
点评：面对学生已经预习勾股定理这一始料未及的情况，如果继续按原来的教学预设组织教学，虽然顺利地完成了教学任务，但从某种程度上来说，这样的教学否定了事实，是对学生活力生成的阻碍、压抑。
教学片段2：（拼图验证）
用4个全等的直角三角形拼图，通过讨论学生很快验证了勾股定理：由面积计算可得（a+b）2=4（―ab）+c2，展
开得a2+2ab+b2=2ab+c2化简得a2+b2=c2。
当我正准备过渡到第二环节时，生1：“老师，把直角三角形翻转一下，也可验证勾股定理。”于是我请他走上讲台展示自己的观点，并写上了验证过程：由面积计算可得c2=4（―ab）+（b-a）2展开得c2=2ab+b2-2ab+a2化简得c2=a2+b2。
生2：“还可以这样拼。”有一个女学生清脆的声音在教室响起，为不影响她的积极性，于是，我又请她上来。
“将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形就可以验证。”她也写上了验证过程。
此时，时间已过去了一大半，可班内这阵势、这气氛，真使我无法转向第二个环节。我猛然想起，这不就是培养学生动手操作能力的好机会吗？于是，我顺水推舟：“还有别的拼法吗？”
同学们还在热烈地探索着，课堂气氛达到了高潮，不知谁叫了一声“下课了！”我看了一下手表，已超过5分多钟了……于是，我赶紧“急刹车”，鼓励一番后说：“勾股定理到目前为止已有400多种验证方法，我们本节课探索的只是几种方法，而我国是发现勾股定理最早的国家之一。”
“勾股定理真有趣！”
“我国的古人真棒！”
点评：这的确是一堂“节外生枝”的数学探究课，教师原本准备先探索、再验证勾股定理，接着巩固应用。谁知学生却发现了许多验证勾股定理的方法，让教师始料不及，可贵的是教师及时调整教学思路，改变教学方式，围绕学生自己发现的问题展开探究。这样的教学过程不仅满足了学生的探究欲望，还让学生体验到学数学的乐趣，培养了学生的探究精神和动手操作能力。
三、案例反思
1.精心备课，充分预设
在第一个教学片段的课堂引入部分，如果考虑到学生的预习情况，就可预设一系列有效的课堂问题，从而提高课堂教学的有效性。课堂教学的生成性，不是意味着不需要预设或不需要改进预设，新课程改革对预设的要求不是降低而是提高了。它要求预设能真正关注学生的发展，关注学生的个体差异，为每个学生提供主动积极活动的保障；能为师生在教学过程中发挥创造性提供条件；能促使课堂多向、多种类型信息交流的产生和对及时反馈提出要求。
2.尊重学生，善对生成
【摘 要】勾股定理既是初中数学知识中的重点，也是难点，将会学生利用勾股定理进行有关题目的解答，可大大提高解题效率。本文从三个方面探讨了如何加强勾股定理在初中数学教学中的应用，希望以此能够为初中的数学教学提供一些帮助。
关键词 初中数学；勾股定理；教学方法；应用
勾股定理是初中数学知识中的一个重点，也是难点，是解答有关直角三角形题型的基础。而且勾股定理在实际生活中也被广泛的应用，与人们的生活息息相关。它既是一个几何概念，更是数学中数形结合思想的体现。勾股定理应用到初中数学教学中去，教学重点在于让学生理解其概念并创建空间想象性思维。为了使学生更好的掌握有关勾股定理的内容，并提高实际应用能力，老师需要在教学过程中精心设置教学内容，提高学生们的学习积极性，用直观的例子来辅助理论教学。以下就初中老师如何在数学教学中利用勾股定理更好的提高质量进行了分析，并列举了相关题型进行辅助说明。
一、教师需要精心创设教学方法，以学生为主体
在以往的数学课堂教学中，多是以老师进行题型讲解、要求学生进行专项练习为主，学生们总是处在被动的被安排的地位，这于新课标的要求不符，需要老师转变教学观念，把学习的主动权交给学生，要让所有的教学活动都围绕着学生进行，以生为本。在进行勾股定理的教学时，以生为本的观念非常关键，有利于自行了解和掌握勾股定理的相关内容。老师在进行教学预设时需要充分考虑学生实际的数学能力，精心的创设教学方法，想方设法的调动学生们进行积极的思考。另外，老师们还需要向学生强调勾股定理和逆定理的区别，防止学生将两个定理混在一起，可以对学生进行强化训练，加强学生们对两个概念的把握。
二、要充分利于多媒体教学的优势，进行情景化教学
勾股定理不仅是初中数学知识中的重点，在数学考试中占据大量的分值。更是一个难点，许多学生都曾反映在对勾股定理的学生和应用上比较吃力，数学老师如何将勾股定理的知识点深入浅出教授给学生，如何加强学生对知识的掌握和应用，是所有数学老师的教学重点。初中生他们的心智还不够成熟，认知水平有限但是却对新鲜事物充满了好奇心和求知欲，老师们在实际教学时，就可以根据初中生的年龄和心理特点，利于现代化的多媒体技术进行辅助教学，通过多媒体手段来创设情景，例如利用图片、动画、影像等来吸引学生们的注意力，并通过这种新颖的途径将学生们逐渐引导到勾股定理的相关内容中来，运用多媒体技术将抽象的数学概念转化为生动的、形象的内容，可以加强对学生对知识点的深入理解。
例如：图1.为一课4米高的小树，现在有一只小鸟A停留在树梢上休息，而另一只小鸟B停留在高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声。现在已知大树和小树之间的距离是12米。如果小鸟A以4m/s的速度飞向大树的树梢，那么请问：小鸟A至少需要多长时间才能与小鸟B汇合？
解答：如图1.由题目中的条件已知，AC=16m，BC=12m，根据勾股定理可以得出：
AB2=AC2+BC2=162+122，得出AB=20m，所以小鸟A所需的时间为20/4=5m。
例如：虚线阴影部分是某条河的河面，要测量AB两点之间的距离，要观测三个测点：A、B、C，∠BAC=90°，又量得BC=1300m，AC=500m，计算河宽AB之间的距离是多少？
解答：如图2.由题目中的给出的角度和长度，根据AB2=BC2-AC2，可以得出AB2=13002-5002=12002，所以河宽AB之间的距离为1200米。
在老师讲解这两道题的时，就可以通过多媒体手段画出这棵树和两只小鸟的形象，画出这条河流的形象，还可以做出动画的效果，让学生们真正的看到小鸟在飞，河水在流。这样一来，学生们的注意力都会放在这道题上，有利于提高老师的教学质量。
三、要将生本理念和多媒体技术向融合，深化学生的思维
生本理念就是在教学中把学生作为主体，改变以往学生们在学习中的被动状态的一种新型的教学理念，旨在让学生成为学习活动的主人。要在“听”和“学”中实现老师和学生的互融，通过老师为学生们创设的教学情景，学生们在主动思考、自觉创新中使自己的自主学习能力得到锻炼和提高。同时，老师又运用多媒体教学手段来吸引学生们的参与兴趣，实现生本教学。
例如：图3.是一棵美丽的勾股型树，其中所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、4、2，那么底层最粗最大的正方形树干的面积是多少？
解答：由勾股定理可知，A和B的正方形面积之和等于正方形F的面积，从而得出F的面积为8。同理可得正方形G的面积为6，最后可以得出底层最粗最大的树干E的面是F和G正方形面积之和，所以答案是14。
例如：图4.是“赵爽弦图”的飞镖板图。其中直角三角形的两条直角边分别是2和4，假设飞镖每次都扎在板上，那么投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是多少？
解答：由题目已知条件可得出中间正方形的边长是2，根据勾股定理可得出外面大正方形的边长是，所以小正方形与大正方形的面积比是对应边的比的平方，即1:5，在根据概率公式可以求出投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是1/5。
在这样的拼图式的题型，老师需要引导学生通过拼出不同的图形来发现其中隐藏的勾股定理，使学生们的创意想象得到充分的发挥，并善于发现每一位学生身上的闪光点，有针对性的对预设教学进行调整，促进预设和生本的融合。
小结
勾股定理既是初中数学知识中的重点，也是难点，将会学生利用勾股定理进行有关题目的解答，可大大提高解题效率。本文从三个方面探讨了如何加强勾股定理在初中数学教学中的应用，希望以此能够为初中的数学教学提供一些帮助。
参考文献
[1]兰玲玲。探究勾股定理在折叠问题中的应用[J].才智。2014(01)
[2]陈德明。图式证明在勾股定理教学中的应用[J].陕西教育(教学版).2013(10)
【关 键 词】 遵循“本心”;顺应规律；尚德理念；
【作者简介】 陈洁，江苏省苏州市相城实验中学，中学一级，研究方向：尚德数学教学与数学运用理论。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015） 07-0070-04
《数学课程标准》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在理解数学的同时在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展。” 江苏省苏州市相城实验中学（简称我校，下文同）“尚德课堂”的核心理念是“遵循本心，顺乎自然”，即顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特路径去设计数学课堂。基于这样的理念和要求，笔者在设计《勾股定理的应用》这节课时，力求遵循“本心”自主探究，渐渐达成勾股定理知识与经验的巩固与深化。教学设计从学生的认知规律出发，由简单到复杂，层层深入，较好地实现了在“尚德课堂”中要深化、升华的教学目标。
一、顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础
“勾股定理”是我国古代数学上的一项伟大数学规律的发现。相传是由商代的商高发现，故又称为“商高定理”。三国时期，蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中，对勾股定理作出了详细的注释。可以说，“勾股定理”解决了直角三角形三边间的数量关系，是重要的几何定理，也是学生后续学习几何的重要基础。课程标准对“勾股定理”内容的教学要求是：（1）能应用“勾股定理”解决一些简单的实际问题；（2）学会选择适当的数学模型解决实际问题。在教学“勾股定理的应用”之前，学生已经准确地理解了勾股定理，并能运用它们解决一些较为简单的数学问题。比如掌握了直角三角形中，已知任意两边可以求出第三边；利用勾股定理可以建立方程求未知边等一些基本运用方法。所以，教学时笔者就从基础知识巩固开始――
师：我们已经学习了勾股定理，知道了勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，请同学说一下。
生：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是，从发展的“本心”看，学生“勾股定理的应用”的眼界没得以拓宽；相关复杂条件下的探究能力还没有形成；分类讨论思想，特别是抽象思维训练还有待加强。因此，笔者着手建构“勾股定理的应用”的教学方案。
“尚德理念”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律。在建构时，本着顺应学生的发展“本心”出发，尽量让问题解决生活化、情境化，让学生由浅入深，渐进深入地学习勾股定理的复杂应用。为什么在数学问题解决过程中强调生活化、情境化？尚德课堂主张建设意味深长、意趣盎然的趣味课堂。课堂生活中有了深度兴趣，学生才能阳光乐观、踏实坚定，才能获得主动活泼的发展。在学生回顾了勾股定理的基本原理后，笔者先设计了“勾股定理的应用”的“一般应用”，以积累学生问题解决的经验。
师：有两棵树，一棵高10m，一棵高4m，相距8m，一小鸟要从一棵树梢A飞到另一棵树梢C，至少飞行多少米？这个问题可以转化为怎样的数学问题？
生：两点之间线段最短。
师：树可以看成线段，树和地面是垂直的，小鸟的飞行距离最短就转化成“两点之间线段最短”。现在的问题就转化为什么呢？怎么求AC？
生：过C作CD垂直于AB，构造直角三角形。
师：我们看升旗的问题。下垂时，绳子刚好接触地面，求旗杆高度的问题。把升旗的绳子拉开时什么是不变的？
生：绳子的长度不变。
师：如何转化成数学问题呢？
生：标上字母，顶点为A， 2米处为D，构造直角三角形。设旗杆高度为x米，则AD=（x-2）米。
师：很好。当我们求未知线段长度时可以设为实数x，然后利用勾股定理建立方程，解决问题。
师：第三个游泳问题， BC=200米， AC=520米，求河宽即AB的长。
生：可以构造直角三角形。（如图）
师：有没有同学可以在5秒以内得出答案。还要注意计算技巧。
生：520和200的比值是13比5，所以另一条是12，回过去就是480。
师：正好借此就会复习常用的勾股数
生：3，4，5;5，12，13，;6，8，10;7，24，25;9，40，41;8，15，17。
师：我们利用这些勾股数或者比值能够又快又准的算出边的长度。简单地小结一下刚刚几个简单的例子，如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形；如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。
第一题是为了让学生了解勾股定理的应用中常用的方法：构造直角三角形，同学们几乎都会回答，一开始的引导也比较到位，“树木和数学里的什么概念可以联系起来”，“最短距离就是数学中的什么概念？”等等，一下就把学生带到了数学几何的宫殿里，学生们很踊跃地回答这些问题。第二题意在继续深入理解掌握“构造直角三角形”，还有就是会用方程的思想来解决问题，学生们也能很顺利地利用并解决问题。这两项也正是我们学习勾股定理应用的教学主要目的。游泳问题，蕴含了很重要的计算技巧，在合理的引导下，学生掌握了用比值、勾股数的方法来求出未知边的长度。学生觉得非常新奇，而且印象深刻，从他们惊讶的表情和轻声的感叹中完全能感受到了！
顺应师生“本心”，首先是顺应学情基础。教学时，笔者从简单的两棵树间小鸟飞行的最短路程等问题开始，引导学生将单调的勾股定理原理，转化为生活中的实际问题，即贴近学生生活的旗杆高度、游泳等问题情境，使学生意识到数学问题来源于生活又应用于生活。完成了这三个例题以后，笔者对学生说：“如果没有直角三角形，我们就要构造直角三角形；如果数据不充分时，可以设未知数建立方程来解决问题。”这样，通过勾股定理的一般应用，学生渐渐明白利用勾股定理等数学知识可以解决生活中的实际问题，在巩固“常用的勾股数”的同时，学生越发对勾股定理运用和勾股定理文化产生自信与崇敬。
从“尚德理念”出发设计课堂教学环节，立足于学生的认知基础来选择身边的生活素材，让教学内容充满趣味性和吸引力。这样，更容易引导学生研究勾股定理的应用问题。
二、顺应习得规律，有序开展应用探究
在尚德教育体系中，数学并不是形式严格、思想固化的知识体系。数学学习可以让人的思想得以自由飞扬，但前提是数学学习要顺应知识习得规律，在基于生活问题解决过程中，要有序地开展应用探究，这样，数学学习才是闪烁着自由思想的思维过程。
当学生有了勾股定理的一般应用的初步积累以后，笔者推出了下面这个内容――
师：我们看4题，壁虎要从B处爬台阶，到A处吃食物，这只壁虎请怎样做，才是聪明的呢？请你上黑板画出聪明壁虎的路线图。
生：（作图如下）。
笔者将这个台阶展开来，变成一个长方形。
师：这种思路很好。这就是数学上的转化思想。如何解决问题？
生：AB2=202+（9+6）2，AB=25。
师：转化是重要的数学处理问题的方式。我们来看第5个问题（如图），长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则图中在表面上A到B的最短距离为______。
师：吕云天，你想到了几种爬法？
生：2种。
（师：请上黑板画出来。
（吕云天上黑板画图）
师：还有可以补充的吗？
师：刘诗睿请上黑板进行补画。
（刘诗睿上黑板画图）
师：计算三种不同情况的不同结果，并分为三种情况进行比较。
①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3+4=7，BC=5，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=74
②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=3，BC=5+4=9，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=90
③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离，
∠ACB=90°，AC=5+3=8，BC=4，
在RtACB中，由勾股定理得：AB2=80
通过比较发现， A到B的最短距离是 74。
师：我们看第6题，细线绕长方体问题。你能提出问题解决的方案么？请同学上黑板画图并解决问题。
（郁思杰上黑板完成。 AA’=8，A’B’=6）
师：邹正熙来解释一下同学这样画图的意思。
生：把四个面全部展开，标上长和宽，连起来构成直角三角形。根据两点之间线段最短，AB’= 82 +62 =10 。
师：看第7题。一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4， BC=4， CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长。先看第一小题。
生：前右或者前上（学生作画，如下）
师：如果每个面都是正方形，它爬的路程怎样？
生：一样的。
师：但第2小题里说是长方体，情况怎样？
生：不一样。
师：利用勾股定理计算一下AC和AC’， 利用勾股定 AC=89 ，AC’=97，AC< AC’，所以从前面的面爬到右面到C比较近。
为什么要这样设计？因为“尚德课堂”强调顺应师生的发展“本心”、顺应知识建构的基本规律、顺应学生个性发展的独特性去设计数学课堂。探究勾股定理应用时，例题难度只有层层深入，才能引导孩子们“跳一跳摘苹果”。 例7中蚂蚁爬靠墙柜子的问题中，在笔者的正确引导下，学生的思维进入正轨，没有胡乱思考，考虑得非常全面。这个例子在讨论环节出现了一些争论，大部分学生能想出2种情况，也有同学说是4种情况。笔者便把同学的典型思考及作画的情况用实物投影展示出来，因为有的同学所认为的不同，其实有可能是相同的情况，只是观察思考的角度不同而已。这样，我们讨论后，归纳出有3种不同情况。这样，更符合尚德课堂的“合乎本心”的理念。
这样设计是基于学生“本心”发展的态势的。在图形转化环节，从一开始的圆柱展开、壁虎爬台阶，然后细线绕长方体一圈，让学生自主探究如何将立体图形转化为平面图形，只是展开后的情形是不同的。而从例5开始，渐渐增加问题解决的难度，让学生意识到问题解决可能要分几种情况来思考。所以，例7在例6的基础上又增加了更多的思考角度，以达到逐渐深化课堂教学的目的。如果不遵循认知的本心，不符合学生认知深入的规律就很难实现从简到难，循序渐进，从而走进尚德课堂教学境界。这节课，在学生研究每个题目时，笔者只是起到穿针引线的作用，主要让学生自己思考研究，自己画图并解决问题。这样，每个学生都成为“尚德课堂”的参与者，他们自由讨论，自由交流，自主建构着开放式的勾股定理应用模型。
尚德课堂崇尚“遵行本心，顺乎自然”的理念。在教学时，笔者也预设了可能出现的问题，以让学生自己产生错误、自己发现、自己讨论、自己改正，这样会使课堂气氛宽容、民主、和谐，学生也是极其快乐。由于教师不加限制，学生的思维可以无限的展开，从而主动建构自己的运用模型，增强了学生运用勾股定理的自信心。
由于所教班级中女生较多，而大部分女生的抽象思维处于亟待激发与拓展时期。讨论第7题目时，其中有一个女生上来修改了3次，但笔者还是给予了肯定和鼓励。因为学生需要老师的肯定，这样他们才会越来越有自信！我们的核心理念“顺其自然，合乎本心”，这与数学课程的设计理念，教学方式真是不谋而合！学生在探究过程中，为什么会出现这种问题？如果在课前准备好一个长方体模型，在课堂上适时展开，这样学生会比较直观的看到长方体展开的情况，可能更符合学生的认知情况，也更符合尚德课堂的“合乎本心”的要求。
基于“尚德理念”的“勾股定理的应用”教学，既复习了勾股定理原理及常用的勾股数，又通过运用提高了学生解决现实问题的能力，这对于如何培养学生的解题速度和能力是非常有意义的。只要教师“遵循本心，顺乎自然”，加强正确引导，既不满堂灌，也不过于放手，学生的思维才能如一列火车一样在方向正确的轨道上行驶。
参考文献：
[1] 季国栋。关于“数学规定”的理性思考与实践[J].课程・教材・教法，2014，（5）..
[2] 翁永兴。尚德理念：传统精神与现代追求的交融――关于苏州相城区实验中学“尚德”内涵的理解[J].江苏教育研究，2014，（8A）.
在现今的课堂教学中，如何培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神无疑是教育的最高目标，但囿于现实的教育体制、急功近利的教育观念、桎梏人的教育思想，要实现上述目标无异于缘木求鱼、南辕北辙。“钱学森之问”就是对这种教育现实、教育结果的最直接的反映。教育者只能戴着思想的镣铐在刀刃上跳舞，退而求其次。在课堂教学中培养学生发现问题、提出问题的意识和能力，即对问题意识的培养，是不得已而为之的做法。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见培养受教育者问题意识的重要性。
在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力；当然还可以从其他更多的途径进行训练。
1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题
在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画图，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：
（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查图书资料、网上搜索……）
（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、图案设计、列方程……）
（3）如何证明勾股定理？（咨询、查图书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）
（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查图书资料、网上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？
再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？
（2）能不能建立公式求勾股数？
（3）勾股数与直角三角形是什么关系？
（4）古人是怎样发现勾股数的？
2.从问题中发现问题、提出问题
仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：
n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？
自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：
（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）
（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）
3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题
问题：如图：AD为ABC的高，∠B=2∠C，
用轴对称图形说明：CD=AB+BD。
给出如下解答：
（1）如图，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的证明有没有错误？有没有不完善的地方？有没有漏洞？如果有的话，在哪里？
进入初二之后，学生对几何图形的观察和分析能力已初步形成。部分学生的思维能力比较强，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。但是，对于数学学习的价值和意义学生仍然比较模糊。勾股定理历史十分悠久，纵横几千年，几乎所有的文明古国对它均有研究，在数学的发展历史上有着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学、文化的内涵。现实世界，上至帝王总统，下至平民百姓，都热衷于对其进行研究，其魅力可见一斑。通过对勾股定理的探究学习，寻根问底，以问题的解决激发学生对数学学习的主体意识。
【设计意图】
《义务教育数学课程标准》指出，数学是人类文化的重要组成部分，强调数学的文化性。因此，在课程内容的选择上，既要反映社会的需要、数学的特点，又要符合学生的认知规律，课程内容的呈现应注意层次性和多样性。数学教学活动旨在激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，增强学生的创造性思维。
从教材来看，本节课时是人版教材八年级下册第17章第1课时，勾股定理在初中数学中扮演着很重要的角色。首先，从知识结构来看，它承接八年级上册三角形的学习，为九年级下册解直角三角形的学习打下基础。其次，从内容上看，它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，同时，解决的方法与开方和方程思想等有很多交集。再次，从实际应用来看，它在实际生活中的身影随处可见，可以说，有直角的地方都有勾股定理，体现了应用数学的思想。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系、比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。
在有的人看来，数学是枯燥乏味的，这是被数学图形和符号表面的抽象所迷惑，没有亲身体验的情感交流，没有发掘出其内在的价值，从理性的角度发现数学的美，本节课在教法上选择学生自主学习与教师引导探索相结合，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。首先借助生活问题引入，感受数学的来源，将勾股定理的发现和证明以故事的形式讲述出来，可以增强数学课的文化性，激发学生的兴趣。借助多媒体，引导学生自主探索、合作交流，让学生思考问题、获取知识、掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
【教学情景】
一、创境促竞，激发兴趣
新闻链接：重庆沙坪坝一小区住户家中失火，父子二人不幸遇难。
师：很多人事后都对消防队表示指责和质疑，究其原因是他们没能及时赶到现场救火，但是消防队员也有话说，请看消防队员的问题：
以上事发点在六楼，我们带来的云梯长约13米，每层楼高2.5米，为安全起见，梯子的底部须距离墙底5米才能放稳，你认为我们能通过云梯直接进入六楼灭火吗？
要解决这个问题，就要用到我们今天要学习的勾股定理。
【点评】通过结合我们身边发生的事，挖掘数学问题，明确数学学习的价值，尤其是学生意识到数学来自于身边，就会产生积极的心理活动倾向，激发他们学习数学的兴趣。
二、自主学习，培养习惯
师：让我们首先穿越历史的隧道，回到2500年前的一天，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯有一次应邀参加一位政要的餐会，他观察脚下排列规则、美丽的方形瓷砖，发现了方砖对角线围成的直角三角形三边的特殊关系，通过思考，反复论证，得出了著名的勾股定理。下面，我们将毕达哥拉斯观察的地砖图案抽象出来，看看毕达哥拉斯是怎样发现勾股定理的。
（教师让学生打开教科书第22页，依次观察教材图17.1-1和图17.1-2，通过自主思考、生生交流，感悟并体验毕达哥拉斯发现勾股定理的过程。）
【点评】通过看书观察，独立思考，“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生通过采用分割、拼接、数格子的个数等方法发现新知，培养学生良好的自主思考和自主学习的习惯。
三、合作研讨，师生交流
1.从特殊开始，发现勾股定理
师：对于图17.1-1中的图案，我们都很常见，但却很难发现数学问题，但如果像图17.1-2中将直角三角形和正方形勾画出来，就很容易发现数学问题了。你们发现了什么？
（学生交流发现。）
师：很好，看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的道理，我们要向毕达哥拉斯学习，做生活的有心人。
师：刚才观察的直角三角形有什么特殊之处？
生：是等腰直角三角形。
师：一般的直角三角形是不是也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
（教师再给出一个一般的直角三角形，让学生计算，并引导学生得出勾股定理的内容。）
【点评】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边的关系打下基础，提供方法。
2.用拼图活动，证明勾股定理
师：以上例子都是特殊的例子，对于更一般的情形是否仍然成立？
试一试，剪四个全等的直角三角形，用它们拼成一个正方形。并用所拼得的图形证明上述结论仍然成立。
（小组活动，同伴交流，学生上台展示。）
请学生上台展示拼图方法，并写出式子的变形过程。
学生归纳出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【点评】通过拼图活动，培养学生的动手能力，变被动为主动，加深对定理的理解，体会数学中数形结合的思想。同时，给学生展示的空间和舞台，激发学习的主动性。
3.回溯经典，感悟证明
师：刚才同学们通过拼图的方式验证了勾股定理，并用数学式子证明了勾股定理，你们的方法中有与毕达哥拉斯差不多的，这也证明你们有成为数学家的潜质，请为自己鼓掌！
勾股定理的证明方法很多，有兴趣的同学可以搜集研究一下。下面介绍几种证法。
观察图17.1-4，传说这就是毕达哥拉斯的证明方法，你能根据这个图形得出这个结论吗？
（学生独立思考，并在练习本上写出证明过程。）
师：毕达哥拉斯经过从特殊到一般的研究，得出了勾股定理的证明，所以这个定理在西方也叫毕达哥拉斯定理，传说毕达哥斯发现勾股定理后很兴奋，杀了一百头牛来庆贺，因此勾股定理又叫百牛定理。
但为什么我们中国又叫勾股定理呢？
这个问题留作课后的作业，请同学们去查阅“勾股定理”这个名称的来历。
下面介绍东汉赵爽的证法。说明：该证法是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，这个图在2002年在北京召开的第24届国际数学家大会上被用作大会会徽的图案。利用这个图我们很容易证明勾股定理，同学们可以下去证明一下。有兴趣的同学还可以了解一下中国东汉的青朱出入图和美国的总统证法。
【点评】通过介绍毕达哥拉斯的证法，一方面是前面故事的延续，与前面的知识相呼应，另一方面是给予这种方法暗合的同学以鼓励。通过对赵爽弦图的介绍以及勾股定理名称的来历，了解中国古代数学的成就，增强民族自豪感。
四、实践反思，课堂精练
例1.求下图中（图略）字母A、B所代表的正方形的面积。
学生练习，教师个别指导。
【点评】通过计算，进一步体会勾股定理的面积思想，不忘勾股定理的本源。
例2.画一个直角三角形ABC，∠C=90°，它的两直角边分别是AC=3cm，BC=4cm量一量它的斜边AB是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？
变式1：在直角三角形中，各边的长如图（图略），求出未知边的长度。
变式2：已知直角三角形ABC的两边长分别是3和4，求第三边长。
变式3：直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，a∶b=3∶4求b和c。
学生练习，教师个别指导。
解题反思：已知直角三角形两直角边，求斜边可以直接用c=■求解，但当我们不明确是哪两边时，要分类讨论，即要用c=■；b=■或a=■。也可建立方程解决问题，渗透方程思想。
【点评】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题。通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性。通过变式练习，加强学生对应用勾股定理解决问题的灵活性。
五、解决问题，分享帮困
解决情景导入中的问题，引导学生将问题抽象成几何图形，并将问题转化为数学问题。
【点评】从问题中来，又回到问题中去，通过解决问题，让学生体会数学的应用价值。
六、反馈总结，提高认识
学到了哪些数学知识和数学思想方法？有什么疑问？还有什么想要继续探索的问题？
学生发言，互相补充，教师点评。
【点评】本环节为学生提供交流的空间，在引导学生巩固对勾股定理理解的同时，注重了数学思想方法的归纳，同时为下节课的教学提供改进方向。
【教学反思】