角平分线课件
教学目标
【知识与技能】
1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
【过程与方法】
1.经历探索角平分线作法的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察能力。
2.探索角平分线定理，培养学生认真探究、积极思考的能力。
【情感 、态度与价值观】
1.体验数学与生活的联系，发展学生的空间观念和审美观。
2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，使学生具有一些初步研究问题的能力。
重点难点
【重点】
角平分线的性质定理及其逆定理。
【难点】
理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理。
教学过程
一、创设情境，导入新知
师：同学们知道怎样作出角的平分线吗？
生1:可以通过折纸得到一个角的平分线。
生2:也可以用量角器来画一个角的平分线。
师：下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线。
作法：
1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).
2.分别以点M、N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).
3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线，如图(3).
师：通过上面的作图，启发我们可以用尺规完成：“经过一点作已知直线的垂线。”
由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB上一点C,如图(1).
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：
作平角ACB的平分线CF.
直线CF就是所求的垂线。
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C,如图(2).
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作示：
(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧，交AB于点D和E;
(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F;
(4)作直线CF.
直线CF就是所求的垂线。
教师边操作边讲解：
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片继续任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
学生操作。
师：从上面折纸中我们发现，纸片第一次对折后的`折痕是什么？
生：是这个角的平分线。
师：你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系？
生：一样长。
师：因为第二次我们是任意折的，所以这种等长的折痕能折出无数对。
二、共同探究，获取新知
教师多媒体出示：
操作：(1)折出如上图中的折痕PD、PE;
(2)你和同桌用三角板测量一下，检测你们所折的折痕是否符合图示的要求。
问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗？
学生思考后回答。
问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表：
图形已知事项由已知事项推出的事项
OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、EPD=PE
(推证定理1)
问题3:根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
图形已知事项由已知事项推出的事项
DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC
问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项。
(推证定理2)
三、练习新知，加深理解
师：下面我们接着来探讨上面的问题3.
教师多媒体出示：
(1)∵AD平分∠BAC,
DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)
∴DC=DE.( )
(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)
∴点D在∠BAC的平分线上。( )
学生思考后抢答，教师板书。
第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”。
教师多媒体出示：
【例1】 已知：如图所示，∠C=∠C'=90°,AC=AC'.
求证：(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)
学生思考后交流讨论。
教师找一名学生板演，其余同学在下面做，然后集体订正。
证明：(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)
∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)
又∵AC=AC',(已知)
∴点A在∠CBC'的角平分线上。(到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上)
∴∠ABC=∠ABC'.
(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)
即∠BAC=∠ABC'.
∵BC⊥AC,BC'⊥AC',
∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
【例2】 已知：如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.
∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，(已知)
∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)
同理PN=PM.
∴PN=PQ.(等量代换)
∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
四、课堂小结
师：你今天学习了什么知识？有什么新的收获？
学生回答，教师点评。
本节课开头设计的折纸和画一画的活动，旨在丰富学生对角平分线性质的感知，有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质。由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈，因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形，从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫，同时也为定理1的推理论证作准备。通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现，从而得到角平分线的性质定理及其逆定理，充分发挥学生的探究意识，使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法，同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力，能写出规范的证明过程。
角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
数学科的特点是逻辑性强，抽象思维要求高，利用传统的教学手段，在黑板上是很难将复杂的动态过程、复杂的计算过程展现出来，而多媒体进入课堂后，可使抽象化的概念具体化、形象化，弥补传统教育在直观性、立体感、动态感方面的不足，增强直观性印象，激发学习兴趣，化解难点、突破重点，提高学习效率，增强学习效果。
在进行三角形的中线、高、角平分线的教学时，由于精确程度问题，学生在练习本上操作时，不易得出正确结论，此时用《几何画板》软件演示画图，可以任意改变三角形的形状并得到普遍规律。
多媒体课件辅助教学，是运用多媒体课件辅助授课教师解决难点教学问题，因而我在多媒体课件的设计时体现“以人为本”的原则，把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式。了解学生的`知识基础、学习水平，从学生的年龄特征、认知规律出发，做到内容表达清楚准确，难易适当，趣味性强，问题的提出、回答及反馈易为学生接受，视觉、听觉合理搭配，声音和画面要精选，以免干扰学生的视听，分散学生的注意力。
随着课改的不断深入，我深感到，教师应不断地学习，不断地探索与反思自己的教学方法，不断地充实自己的教师素养，才能适应新课程的需要，为社会输送合格人才。
角平分线说课稿
一、教材分析
（一）地位和作用：
本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第十一章第三节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
（二）教学目标
1、知识目标：
（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理。
（2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质。
2、基本技能
让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。
3、数学思想方法：从特殊到一般
4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验
设计意图：
通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。
（三）教学重难点
进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，
难点是：
（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；
（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的'方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）
教学难点突破方法：
（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；
（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；
（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。
二、教法和学法
本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”。鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合。
教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变。这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。
三、教学过程
（一）创设情景 引出课题
出示生活中的数学问题：
问题1 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
［设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感。
教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。学生动手画图，猜测并说出观察到的结论。李薇同学很快就回答：“在两条路夹角的平分线上，因为由昨天我们学习的角平线的性质定知道到角两边路离相等的点在角的平分线上。”其余同学对这一回答也表示了认可。此是教师提问：角平分线的性质的题设是已知角平分线，结论是有到角两边距离相等，而此题是要求角两边距离相等，那这个点在这个角的平分线上吗？这二者有区别吗？”学生晃然明白过来这二者是有区别的，此时教师引导学生分析：“只要后者是正确的，那李薇同学的回答也就可行了，这便是今天我们要研究的内容”由此引入本节新课。。
[设计理由］依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备。
（二）、主体探究，体验过程
问题2交叉角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质。
（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。）
追问1你能证明这个结论的正确性吗？
结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程。证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理。教师归纳，强调定理的条件和作用。同时强调文字命题的证明步骤。
［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维。
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性。
质可用来证明线段相等。
（三）巩固练习，应用性质。
让学生运用本节所学知识分步来解决课前所提问题。让学生体会生活中蕴含数学知识，数学知识又能解决生活中的问题，感受数学的价值，让人人学到有用的数学。
在教学的实际过程中，重视学生的亲身体验、自主探究、过程感悟。在教学中，给学生一段时间去体悟，给他们一个空间去创造，给他们一个舞台去表演；让他们动脑去思考，用眼睛去观察，用耳朵去聆听，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。这种探究超越知识范畴而扩展到情感、价值观领域，使课堂成为学生生命成长的乐园。为了让学生做到学以致用，在判定证明完后，我让学生回头来解决问题1，对于问题1的解决作了如下分解：在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等。
（1） 这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？
（2） 若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？
（3）如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等。这个广告牌P 应建在何处？
这样有梯次的设问为学生最终解决问题1作了很好的分解，学生独立解决这道路问题也就变得很简单了。同时在分解问题（3）时，有学生说作三角的平分线找交点，有学生反驳说作两条就可以了因为第三条角平分也一定过这个交点。此时老师及时提问任意三角形的两内角平分线的交点在第三个角的平分线上吗？那么我们来作下面的探究。
（教师出示问题2：如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， com 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 这样提出问题连惯性强，让学生的思维始终处于活跃和不断对知识的渴求探索中。
（四）归纳小结，充实结构
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
教师让学生畅谈本节课的收获与体会。学生归纳、梳理交流本节课所获得的知识技能与情感体验。
［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力。
五、布置作业
作业，必做题：教材习题12.3第3、7题； 选做题：课时通上选做部分题。
［设计意图］设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成。选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的。
本节课设计了四个环节，环环相扣，三个整合点，层层深入，将信息技术与教学进行有机整合，充分调动学生的自主探究与合作交流，教师注意适时的点拔引导，学生的主体地位和教师的主导作用得以充分体现，切实能够达到发展思维、提升能力的根本目的，能够较好地实现教学目标，也使课标理念能够很好地得到落实。
（。┒理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。
（）已知：中，平分，交于。
求证：。
（＃┘虻シ治
a
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从结论来考虑，横着看，两个比的前项、在中，两个比的后项、在中。按照相似三角形的性质，只要∽，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相似三角形，所以，不可能用相似三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，显然，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相似三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了辅助线的作法以平行线为主。
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e
例如，把线段绕着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不改变线段的长度，所以，从旋转情况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段绕着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。
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①证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。共3页，当前第2页123
②证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。
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③证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。
④证法四：如下页图，过点作交于，根据三角形的面积公式可得：；
又根据正弦定理的面积公式有：
a
b
c
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；
通过比较就可以得到：所要的结论。
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
角的平分线 - 初中数学第四册教案
3．9角的平分线
教学目标
1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．
2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．
3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．
教学过程 设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1，复习引入课题．
（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．
（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角
平分线OC．
2．画图探索角平分线的性质并证明之．
（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一
点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段
PD，PE．
（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．
（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．
3．逆向思维探求角平分线的判定定理．
（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2――角平分线的判定定理．
（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．
（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．
4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．
（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．
由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
二、应用举例、变式练习
练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D
PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）．
（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）
例1已知：如图3－87（a）， ABC的角平分线BD和CE交于F．
（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；
（2）求证：AF平分∠BAC；
（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；
（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？
（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？
说明：
（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．
（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．
练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．
练习3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．
例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．
分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．
练习4 课本第54页的练习。
说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．
三、互逆命题，互逆定理的定义及应用
1．互逆命题、互逆定理的定义．
教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的。定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．
2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．
例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）直角三角形的两锐角互余；
（3）对顶角相等；
（4）全等三角形的对应角相等；
（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；
（6）等腰三角形的两个底角相等；
（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．
3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．
例4 判断下列命题是否正确：
（1）错误的命题没有逆命题；
（2）每个命题都有逆命题；
（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；
（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；
（5）每一个定理都一定有逆定理．
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．
四、师生共同小结
1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？
五、作业
课本第55页第3，5，6，7，8，9题．
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成．
角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．
3．9角的平分线
教学目标