教学目标
(一)使学生理解和掌握垂直、互相垂直、垂线等概念。
(二)初步学会画垂线的方法。
(三)培养学生初步画图的能力。
教学重点和难点
使学生理解和掌握垂直、垂线、距离等概念是教学重点；学生画垂线是学习的难点。
教学过程 设计
(一)复习准备
1.指出下面图形中的直线、射线和线段。
· (1) (2) (3) (4) (5)
2.量出各角的度数，并说出各是什么角。
(二)学习新课
我们今天要在学过直线和角的知识基础上学习一种新的概念：垂直。(板书课题：垂直)
1. 认识垂线。
(1)理解垂直的含义。
①教师演示：
用两条颜色不同的毛线表示两条直线，使它们相交。
提问：
两条直线相交成几个角？(4个角)标出∠1，∠2，∠3，∠4。
这4个角分别是什么角？(∠1，∠3是锐角；∠2，∠4是钝角。)
②转动其中一条直线，使其中一个角变为直角。
提问：其余三个角是什么角？
想一想，为什么其他的角也变成了直角？
弓[导学生明确，把一条直线分成两个角，∠1是直角，∠2也会变成直角，
180°－90°＝90°，同样∠3＝90°，得出四个角都是直角。
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。(板书)
②观察下面几组图形，看哪组两条直线相交成直角？哪两条直线是互相垂直的？
(1) (2) (3) (4)
引导学生观察并测量得知：图(2)、图(3)两条直线相交成直角，图(2)、图(3)两条直线是互相垂直的。
(2)建立垂线的概念。
师指出：上图中的(2)、(3)是两条直线互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
板书：垂线、垂足。
提问：两条直线互相垂直的关键是什么？
引导学生明确，两条直线互相垂直的关键是直线相交成直角，这两条直线就叫互相垂直，与两条直线放置的方向没有关系。
如果直线A与直线B相交成直角，说说这两条直线有什么关系？
引导学生得出：直线A与直线B相交成直角，直线A和直线B就互相垂直，直线A是直线B的垂线，直线B是直线A的垂线。
请你观察教室里有没有两条直线是互相垂直的呢？并指出垂足。
生举例……
(3)学生操作，巩固垂线概念。
同学们用一张纸，折出两条互相垂直的线，指出这两条直线的关系，标出垂足。
2.教学垂线的画法。
(1)过直线上的一点，作已知直线的垂线。
例 过直线上A点，作直线的垂线。
画的方法和步骤：
※把三角板的一条直角边与直线重合。
※沿直线移动三角板，使直角顶点与A点重合。
※从A点起，沿另一直角边画一条直线。
※过A点新画出的直线，就是原直线的垂线。
指名到黑板上试画过直线上的点的直线的垂线，其余同学在本上试画。
教师巡视指导。
(2)过直线外一点画这条直线的垂线。
例 过直线外一点B，做这条直线的垂线。
·B
画的方法和步骤：
※把三角板的一条直角边与已知直线重合。
※沿直线移动三角板，使三角板另一条直角边过已知B点。
※从直角的顶点起，沿另一直角边画一条直线。
※新画出的这条直线就是过线外B点所求的垂线。
指名到黑板上试画过线外一点的这条直线的垂线，其余同学在本上试画。
教师巡视指导。
3. 理解垂线的性质，建立距离的概念。
(1)过A点向这条直线画4条不同长度的线段。
一人在黑板上画，全班同学在本上画。
(2)测量每条线段的长度。
(3)你所画的线段中，哪一条最短？
引导学生得出：从线外一点到这条直线所画的线段中，垂线最短。这是垂线的重要性质。
师指出：从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到直线的距离。实际上距离就是垂线线段的长度。
4. 画垂线的应用。
我们可以应用画垂线的方法画长方形和正方形。
例 画一个长2.5厘米，宽2厘米的长方形和正方形。
提问：正方形和长方形的特征是什么？
引导学生明确：它们的对边相等，相邻的两条边互相垂直。
画的步骤如下：
※先画一条2.5厘米长的线段；
※过两个端点在线段的同侧画两条与它垂直的线段，每条线段长2厘米；
※把这两条线段的端点连接起来。
同学们在本上画一个边长2厘米的正方形。
教师行间巡视，加强指导。
5.小结。
启发性提问：
(1)两条直线是否互相垂直的关键是什么？
(2)什么叫做垂线？两条垂线的交点叫做什么？
(3)从直线外一点到这条直线，可以画多少条线段？什么样的线段最短？
(4)什么叫做距离？
(三)巩固反馈
1.下图中哪两条线段是互相垂直的？(投影)
A D
B C
2.过直线上A点，直线外B点，画已知直线的垂线。
·A
·B
(四)作业
练习二十九第2，3题。
教学目标： 1、使学生能够熟练掌握垂径定理及两个推论；2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算。3、通过例4的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识；教学重点： 垂径定理及推论的应用。教学难点：实际问题转化为数学问题。教学过程：一、新课引入：这节课的主要内容是应用题例4，例4是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它要求学生用数学的理论、思想、方法建立实际问题的数学模型，以解决实际问题。这对进一步培养学生分析问题和解决问题有很大的帮助。本节课就是引导学生把例4的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决。为了进一步理解运用垂径定理解决实际问题，教师有目的地安排两组复习题，启发学生进行回答。复习提问：1.垂径定理内容是什么？2.判断题：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（ ）②弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧；（ ）③经过弦中点的直径一定垂直于弦；（ ）④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦一定平行；（ ）⑤平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦。（ ）学生回答的对错，由学生之间评价，从而得到正确答案。其目的就是为了强化所学过的垂径定理及推论1、推论2，为本节课做准备工作。二、新课讲解：例4 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）.
同学们，请看图7-18上这座石桥，这座桥就是例4中的古代的赵州石拱桥，学生一边观察桥的结构，教师一边讲解：“赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的著名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（590～608）李春创建。桥为单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为33米，拱圈矢高约7米，弧形平缓，拱圈由28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属创举，这反映了我国古代劳动人民的智慧与才能。现在这座桥为全国重点文物保护单位。”教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态。教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“我们如何来求出这座桥的半径呢”？接着教师分析：“我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽成一个几何图形，就是一个圆弧形”。这时教师画出图7-19.
对于一个实际问题求半径的长，能否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要首先分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生共同分析解题思路。教师板书：解：圆 表示桥拱，设 的圆心为o，半径为r米。经过圆心o作弦ab的垂线od，d为垂足，与 相交于足c，根据垂径定理，d是 的中点，c是ab的中点，cd就是拱高。由题设ab=37.4，cd=7.2，od=oc-dc=r-7.2在rt△oad中，由勾股定理，得oa2=ad2+od2，即 r2=18.72+（r-7.2）2解这个方程，得r≈27.9（米）.答：赵州石拱桥的半径约为27.9米。在例4的处理上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书。目的让学生掌握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，对于解决这种典型的问题就是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能很快地把未知转化为已知。从而所求问题得以解决。巩固练习：p.81中1题。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽ab=60mm，求油的最大深度。对于这道题主要由学生分析，教师适当点拨。分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决。总结解题思路：巩固练习：教材p.82中2题（略）.三、课堂小结：本节课主要要求学生综合运用垂径定理和勾股定理解决圆中线段的长等问题。如图在⊙o中，设⊙o半径为r，弦ab=a，弦心距od=d，弓形的高de=h.且oe⊥ab于d.
已知：①r、d，求a、h.②r、h，求a、d.③r、a，求d、h.④d、h，求r、a.………对于在⊙o中在r，a，d，h中，只要已知两个量就可求出另外的两个量。所应用的知识点是勾股定理和垂径定理。本节课主要解题思路：四、布置作业：教材p.84中15、16题。教材p.85中4题（b组）
第一课时垂直于弦的直径（一）
教学目标 ：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力。
难点：垂径定理的证明。
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理。
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， =， =.
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合。因此，AE=BE， =， =.从而得到圆的一条重要性质。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， =， =.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可。
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成。
练习1：教材P78中练习1，2两道题。由学生分析思路，学生之间展开评价、交流。
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距。
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用。
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时垂直于弦的直径（二）
教学目标 ：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力。促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系。
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法。
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等。
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件。）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 =，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作。
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解。培养学生的思维能力。
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论。
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图。
（七）作业 ：教材P84中14题。
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识。
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点 ：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧。可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据。
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题。
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离。（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力。
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长。
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系。
（三）应用训练：
P8l中1题。
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后。截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
学生分析，教师适当点拨。
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决。
（四）小结：
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件。
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用。
(五)作业 ：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题。
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由。
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之间应满足）
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理。 定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据。
本节内容的难点是定理及逆定理的关系。 垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反。 学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点。
2、 教法建议
本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式。 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳。 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。 具体说明如下：
（1）参与探索发现，领略知识形成过程
学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很容易得出“相等”。 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结。 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理。 这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。
（2）采用“类比”的学习方法，获取逆定理
线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系。
(3) 通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力。
教学目标 ：
1、知识目标：
（1）掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；
（2）能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直；
2、能力目标：
（1）通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；
（2）提高综合运用知识的能力。
3、情感目标：
（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；；
（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
教学重点：线段垂直平分线定理及其逆定理
教学难点 ：定理及逆定理的关系
教学用具：直尺，微机
教学方法：以学生为主体的讨论探索法
教学过程 ：
1、新课背景知识复习
（1）线段垂直平分线的概念
（2）问题：（投影显示）
如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上任意一点，PA、PB有何关系？为什么？
整个过程，由学生完成。 找一名学生代表回答上述问题并
投影显示学生的证明过程。
2、定理的获得
让学生用文字语言将上述问题表述出来。
定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
强调说明：线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据，在计算、作图中也有重要作用。
学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）
学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论。
3、逆定理的获得
类比角平分线逆定理获得的过程，让学生讲解下一环节所要学习研究的内容。
这一过程，完全由学生自己通过小组的形式，代表到台前讲解。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
强调说明：定理与逆定理的联系与区别
相同点：结构相同、证明方法相同
不同点：用途不同，定理是用来证线段相等
4、定理与逆定理的应用
（1）讲解例1（投影例1）
例1 如图，△ABC中，∠C＝ ，∠A＝ ，AB的在垂线交AC于D，交AB于E
求证：AC＝3CD
证明：∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD
∴∠1＝∠A＝
∵
∴∠2＝
∴CD＝ BD
∴CD＝ AD
∴AD＝2CD
即AC＝3CD
讲解例2（投影例2 ）
例2：在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为 ，求底角B的大小。
（学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论）
解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，如图（1），
∵∠ADE＝ ，∠AED＝
∴∠A＝ －∠AED＝ － ＝
∵AB＝AC ∴∠B＝∠C
∴∠B＝
（2）当的中垂线与的延长线相交时，如图（2）
∵∠ADE＝ ，∠AED＝
∴∠BAE＝－∠AED＝－＝
∵AB＝AC ∴∠B＝∠C
∴∠B＝
例3 （1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝ ，求∠NMB的大小
（2）如果将（1）中∠A的度数改为 ，其余条件不变，再求∠NMB的大小
（3）你发现有什么样的规律性？试证明之。
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
解：（1）∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB
∴∠B＝
∵∠BNM＝
∴
（2）如图，同（1）同理求得
（3）如图，∠NMB的大小为∠A的一半
5、课堂小结：
(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理
(2)在应用时，易忽略直接应用，往往又重新证三角形的全等，使计算或证明复杂化。
6、布置作业 ：
书面作业 P119＃2、3
思考题：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高
求证：AD垂直平分EF
证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF
∴D在线段EF的垂直平分线上
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF
∴AE＝AF
∴A点也在线段EF的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴直线AD就是线段EF的垂直平分线
板书设计 ：
教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明。4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点： 垂径定理及应用。教学难点：垂径定理的证明。教学过程：一、新课引入：请同学们回答下列问题：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________.2、等腰三角形是轴对称图形吗？3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1.，2.的形式，复习轴对称图形的概念。提问3.的目的是引出本节课的第一个知识点。在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形。教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。接着电脑继续演示，教师讲解：
由图7-9（1）中cd为⊙o的直径；变到图7-9（2）中在⊙o上任意取一点a；再变到图7-9（3）从点a作直径cd的垂线交⊙o于另一个交点b.这时我们可以看出图（3）中的点b与点a是否是对称点呢？a、b是关于什么对称。教师进一步提出当直径cd垂直于弦ab，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容。“7.3垂直于弦的直径（一）”。教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程。逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机。二、新课讲解：为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知cd所在直线是⊙o的对称轴；到图7-9（2）从⊙o上取一点a，过点a作直径cd的垂线交⊙o于点b，得到图7-9（3），这时沿着cd折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论。通过实验——观察——猜想获得感性认识。这个实验结论是否正确，还需要证明。学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去。学生回答证明过程，教师板书。已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.求证：ae=eb， = ， = .证明：连结oa，ob，则oa=ob.又cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是△o的对称轴。所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合。因此，ae=be， = ， = .从而得到圆的一条重要性质。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程。为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。〈2〉 〈1〉〈3〉 〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题。例1 如图7-10，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径。
教师分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，学生回答，教师板书计算过程。解：连结oa，作oe⊥ab，垂足为e.∵oe⊥ab，∴ae=eb.∵ab=8cm，∴ae=4cm.又∵oe=3cm，在rt△aoe中，∵⊙o的半径为5cm.教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样。求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来。例2 已知：如图7-11，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点。求证ac=bd.例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程。师生共同参与评价。练习1：教材p.78中1题。练习2：教材p.78中2题。练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价。这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识。
最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成。每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高。三、课堂小结：小结由学生完成，教师进一步强调。1.本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用。2.方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形。（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距。（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。四、布置作业教材p.84中11、12、13
教学目标
1.通过直观演示及观察，使学生初步认识垂线，积极探索画垂线的方法并会用三角板画垂线。
2.提高学生规范作图的能力。
3.培养学生认真仔细的学习态度和自觉检验的学习习惯。
教学重点
认识垂线、掌握画垂线的方法。
教学难点
利用三角板正确、规范地画出已知直线的垂线。
教学过程
一、引入新课。
出示下列图形。
教师提问：每组都有两条直线，每组的两条直线之间有什么共同特点？
（延长后都相交一点，成四个角）
教师导入 ：相交是两条直线位置关系中的一种，今天这节课我们就来研究两条直线相交的一种特殊情况——.（板书课题）
二、指导探索。
（一）认识垂线。
1.播放视频“认识垂线”。
教师提问：大家都看到了∠1变成了直角？那么∠2、∠3、∠4变成了什么角呢？（∠1变成直角，∠2、∠3、∠4也变成了直角）
学生讨论：∠1变成直角，为什么另外三个角也变成了直角？
（相邻两个角组成一个平角，180°— 90°还是90°）
2.教师讲解：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
教师提问：你怎样理解互相？怎样理解“其中一条直线叫做另一条直线的垂线？”
3.判断哪组两条直线互相？
4.引导学生说出生活中哪些物体的边是互相的（举实例）
（二）垂线的画法。
1.画垂线。
（1）教师说明：工人师傅一般用角尺画垂线，我们画垂线通常使用三角板。
教师提问：你猜猜，我们会利用三角板的哪一部分画垂线？
（2）分组讨论过直线上（或直线外）一点，画已知直线的垂线。（每组自选内容）并尝试画垂线。
（3）分组汇报演示。
（4）播放视频“垂线画法1”和“垂线画法2”。
（5）学生比较：两种情况在画法上哪些地方相同？
（先把三角板一条直角边与已知直线重合，另一条直线边过已知点）
2.认识点到直线的距离。
（1）用尺子测量从A点引出的4条线段的长度找出最短的一条。
（2）演示动画“垂线段最短”。
（3）教师讲解：从直线外一点到这条直线所画线段的长度叫做这点到直线的距离。
（4）练习：找出哪一条线段表示A点到直线的距离。（没有）
教师提问：那你能画出来吗？
3.画长方形和正方形。
（1）学生尝试画一个长2.5厘米，宽2厘米的长方形或画一个边长3厘米的正方形（任选一个画）
（2）互相检验所画图形是否规范。
（3）播放视频“长方形的画法”。
（三）巩固练习。
完成第132页1题。
拿一张纸，折出两条互相的直线。
2.用小棒摆出两条互相的直线，指出垂足并说出这两条直线的关系。
3.游戏：4人一组，利用皮筋摆两条直线如下的关系。
①重合 ②相交 ③
4.画长方形和正方形。
（1）长方厘米，宽2厘米的长方形。
（2）边长3.5厘米的正方形。
（四）质疑小结。
1.教师提问：本节课你都学会了什么？
（的概念、画垂线的方法……）
2.鼓励学生对本节课内容提出质疑，组织学生进行解疑。
（五）布置作业 .
练习二十九第2题
画出下面每条直线的一条垂线。
板书设计
教学目标
(一)使学生理解和掌握、互相、垂线等概念。
(二)初步学会画垂线的方法。
(三)培养学生初步画图的能力。
教学重点和难点
使学生理解和掌握、垂线、距离等概念是教学重点；学生画垂线是学习的难点。
教学过程 设计
(一)复习准备
1.指出下面图形中的直线、射线和线段。
2.量出各角的度数，并说出各是什么角。
(二)学习新课
我们今天要在学过直线和角的知识基础上学习一种新的概念：.(板书课题：)
1.认识垂线。
(1)理解的含义。
①教师演示：
用两条颜色不同的毛线表示两条直线，使它们相交。
提问：
两条直线相交成几个角？(4个角)标出∠1，∠2，∠3，∠4.
这4个角分别是什么角？(∠1，∠3是锐角；∠2，∠4是钝角。)
②转动其中一条直线，使其中一个角变为直角。
提问：其余三个角是什么角？
想一想，为什么其他的角也变成了直角？
引导学生明确，把一条直线分成两个角，∠1是直角，∠2也会变成直角，180°－90°=90°，同样∠3=90°，得出四个角都是直角。
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相。(板书)
③观察下面几组图形，看哪组两条直线相交成直角？哪两条直线是互相的？
引导学生观察并测量得知：图(2)、图(3)两条直线相交成直角，图(2)、图(3)两条直线是互相的。
(2)建立垂线的概念。
师指出：上图中的(2)、(3)是两条直线互相的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
板书：垂线、垂足。
提问：两条直线互相的关键是什么？
引导学生明确，两条直线互相的关键是直线相交成直角，这两条直线就叫互相，与两条直线放置的方向没有关系。
如果直线A与直线B相交成直角，说说这两条直线有什么关系？
引导学生得出：直线A与直线B相交成直角，直线A和直线B就互相，直线A是直线B的垂线，直线B是直线A的垂线。
请你观察教室里有没有两条直线是互相的呢？并指出垂足。生举例……
(3)学生操作，巩固垂线概念。
同学们用一张纸，折出两条互相的线，指出这两条直线的关系，标出垂足。
2.教学垂线的画法。
(1)过直线上的一点，作已知直线的垂线。
例过直线上A点，作直线的垂线。
画的方法和步骤
把三角板的一条直角边与直线重合。
沿直线移动三角板，使直角顶点与A点重合。
从A点起，沿另一直角边画一条直线。
过A点新画出的直线，就是原直线的垂线。
指名到黑板上试画过直线上的点的直线的垂线，其余同学在本上试画。教师巡视指导。
(2)过直线外一点画这条直线的垂线。
例 过直线外一点B，做这条直线的垂线。
画的方法和步骤：
把三角板的一条直角边与已知直线重合。
沿直线移动三角板，使三角板另一条直角边过已知B点。
从直角的顶点起，沿另一直角边画一条直线。
新画出的这条直线就是过线外B点所求的垂线。
指名到黑板上试画过线外一点的这条直线的垂线，其余同学在本上试画。
教师巡视指导。
3.理解垂线的性质，建立距离的概念。
(1)过A点向这条直线画4条不同长度的线段。
一人在黑板上画，全班同学在本上画。
(2)测量每条线段的长度。
(3)你所画的线段中，哪一条最短？
引导学生得出：从线外一点到这条直线所画的线段中，垂线最短。这是垂线的重要性质。
师指出：从直线外一点到这条直线所画线段的长度叫做这点到直线的距离。
实际上距离就是垂线线段的长度。
4.画垂线的应用。
我们可以应用画垂线的方法画长方形和正方形。
例 画一个长2.5厘米，宽2厘米的长方形和正方形。
提问：正方形和长方形的特征是什么？
引导学生明确：它们的对边相等，相邻的两条边互相。
画的步骤如下：
先画一条2.5厘米长的线段；
过两个端点在线段的同侧画两条与它的线段，每条线段长2厘米；
把这两条线段的端点连接起来。
同学们在本上画一个边长2厘米的正方形。
教师行间巡视，加强指导。
5.小结。
启发性提问：
(1)两条直线是否互相的关键是什么？
(2)什么叫做垂线？两条垂线的交点叫做什么？
(3)从直线外一点到这条直线，可以画多少条线段？什么样的线段最短？
(4)什么叫做距离？
(三)巩固反馈
1.下图中哪两条线段是互相的？(投影)
2.过直线上A点，直线外B点，画已知直线的垂线。
(四)作业
练习二十九第2，3题。
课堂教学设计说明
本节课的内容是在学过直线及角的知识基础上教学的。是两条直线相交的一种特殊位置关系，在日常生活中应用广泛，因此要使学生建立的正确概念，同时还要重视画图方法的教学。
新课过程是这样安排的。首先让学生理解的含义。通过两条直线相交成直角，引出的概念，说明什么是互相，在理解互相的意义基础上，认识垂线和垂足。
其次学习垂线的画法。通过教师边指导、边画，让学生掌握画垂线的步骤，先画过直线上一点画直线的垂线，再学过直线外一点画直线的垂线。并通过学生的实践，掌握画的方法和步骤。
第三是理解垂线的性质。通过学生观察，自己动手画，测量等手段，使学生认识从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短，从而引出距离的概念。
最后应用画垂线的方法画长方形和正方形。
练习时让学生在动手画图中巩固概念。
板书设计
互相、垂线、垂足
过直线上一点画直线的垂线
过直线外一点，画直线的垂线
过线外A点到这条直线所画的线段中，垂线最短。
这点到直线所画线段的长度。……距离
画长方形
基础练习
1、填空
（1）两条直线相交成（ ）时，这两条直线叫做互相垂直。
（2）从直线外一点到在这条直线做画的垂线段的长度叫做这点到直线的（ ）。
（3）两条直线互相垂直，通常都有一个小小的标志符号，是（ ）。
2、下面的图形哪两条线是相互垂直？的请打“ ”
4、判断
（1）两条直线相交，这两条直线就一定相互垂直。（ ）
（2）长方形相邻的两条边相互垂直。（ ）
（3）垂直和相交可以用一个符号来表示。（ ）
拓展练习
6、竞赛是否公平？
直线ag与bh是运动场两侧相互平行的两条直线，体育老师在这两条直线之间画了四条垂线，甲、乙、丙、丁、四名同学分别沿着这四条垂线跑，有的 同学却说沿着中间的垂线怕的队员怕的路程短，同学们想一想，竞赛是否公平？