中考数学几何证明题
在▱abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f.
（1）在图1中证明ce=cf;
（2）若∠abc=90°，g是ef的中点（如图2），直接写出∠bdg的度数；
第一个问我会，求第二个问。。需要过程，快呀！
连接gc、bg
∵四边形abcd为平行四边形，∠abc=90°
∴四边形abcd为矩形
∵af平分∠bad
∴∠daf=∠baf=45°
∵∠dcb=90°，df∥ab
∴∠dfa=45°，∠ecf=90°
∴△ecf为等腰rt△
∵g为ef中点
∴eg=cg=fg
∵△abe为等腰rt△，ab=dc
∴be=dc
∵∠cef=∠gcf=45°→∠beg=∠dcg=135°
∴△beg≌△dcg
∴bg=dg
∵cg⊥ef→∠dgc+∠dgb=90°
又∵∠dgc=∠bge
∴∠bge+∠dgb=90°
∴△dgb为等腰rt△
∴∠bdg=45°
分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
2014年中考数学经典几何证明题（一）
1、（1）如图1所示，在四边形abcd中，ac=bd，ac与bd相交于点o，e、f分别是ad、bc的中点，
联结ef，分别交ac、bd于点m、n，试判断△omn的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形abcd中，若ab?cd，e、f分别是ad、bc的中点，联结fe并延长，分别与ba、cd的延长线交于点m、n，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
（3）如图3，在△abc中，ac?ab，点d在ac上，ab?cd，e、f分别是ad、bc的中点，联结fe并延长，与ba的延长线交于点m，若？fec?45?，判断点m与以ad为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．b
a
me
db
（4） 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有ef、eg、ｃh这样的线
段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论。
3、 如图，△abc是等边三角形，f是ac的中点，d在线段bc上，连接df，以df为边在df的右侧作等边△dfe，ed的延长线交ab于h，连接ec，则以下结论：①∠ahe+∠afd=180°；②af=在线段bc上（不与b，c重合）运动，其他条件不变时
bc；③当d2
bh
是定值；④当d在线段bc上（不与b，c重合）bd
bc?ec
运动，其他条件不变时是定值；
dc
（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；
f
c
f
图 1图2图3
2．（1）如图1，已知矩形abcd中，点e是bc上的一动点，过点e作ef⊥bd于点f，eg⊥ac于点g，ch⊥bd
于点h，试证明ch=ef+eg;
图1
d
dc
（2） 若点e在ｂｃ的延长线上，如图2，过点e作ef⊥bd于点f，eg⊥ac的延长线于点g，ch⊥bd于点h， 则ef、eg、ｃh三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
（3） 如图3，bd是正方形abcd的对角线，l在bd上，且bl=bc, 连结cl，点e是cl上任一点， ef⊥bd于
点f，eg⊥bc于点g，猜想ef、
eg、
bd之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
f
h
bcd
e
4、在△abc中，ac=bc，？acb?90?，点d为ac的中点．
（1）如图1，e为线段dc上任意一点，将线段de绕点d逆时针旋转90°得到线段df，连结cf，过点f作fh?fc，交直线ab于点h．判断fh与fc的数量关系并加以证明． （2）如图2，若e为线段dc的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
a
a
f
d f
d
e
c b
c
图1
e
图2
h
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5、 如图12，在△abc中，d为bc的中点，点e、f分别在边ac、ab上，并且∠abe=∠acf，be、cf交于点o．过点o作op⊥ac，oq⊥ab，p、q为垂足．求证：dp=dq．
证明．
8、 设点e是平行四边形abcd的边ab的中点，f是bc边上一点，线段de和af相交于点p，点q在线段de
上，且aq∥pc． (1)证明：pc＝2aq．
（2）当点f为bc的中点时，试比较△pfc和梯形apcq面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
6、 如图。，bd是△abc的内角平分线，ce是△abc的外角平分线，过点a作af⊥bd，ag⊥ce，垂足分别为f、g。
探究：线段fg的长与△abc三边的关系，并加以证明。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。 ①可画出将△adf沿bd折叠后的图形； ②将ce变为△abc的内角平分线。（如图2）
附加题：探究bd、ce满足什么条件时，线段fg的长与△abc的周长存在一定的数量关系，并给出证明。
9、 两块等腰直角三角板△abc和△dec如图摆放，其中∠acb =∠dce = 90°，f是de的中点，h是ae的中点，g是bd的中点．
（1）如图1，若点d、e分别在ac、bc的延长线上，通过观察和测量，猜想fh和fg的数量关系为_______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△dec绕着点c顺时针旋转至ace在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△dec绕点c顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明。
ch
g
a图3 图1 图2
7、 在四边形abcd中，对角线ac平分∠dab．
（1）如图①，当∠dab＝120°，∠b＝∠d＝90°时，求证：ab＋ad＝ac．
（2）如图②，当∠dab＝120°，∠b与∠d互补时，线段ab、ad、ac有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠dab＝90°，∠b与∠d互补时，线段ab、ad、ac有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予
10、 已知△abc中，ab＝ac＝3，∠bac＝90°，点d为bc上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放
在d处．
（1）如图①，若bd＝cd，将三角板绕点d逆时针旋转，两条直角边分别交ab、ac于点e、点f，求出重叠部分aedf的面积（直接写出结果）．
求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
2、如图，△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，de⊥ab，df⊥ac，若ab＝kac，试探究be与cf的数量关系。
3、如图，在△abc和△pqd中，ac＝kbc，dp＝kdq，∠c＝∠pdq，d、e分别是ab、ac的中点，点p在直线bc上，连接eq交pc于点h。猜想线段eh与ac的数量关系，并证明你的猜想，若证明有困难，则可选k＝1证明之。
4、在△abc中，o是ac上一点，p、q分别是ab、bc上一点，∠b＝45°，∠poq＝135°，bc＝kab，oc＝mao。试说明op与oq是数量关系，选择条件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。
2014年中考几何经典证明题（二）
1、如图，△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，e为cb延长线上一点，且∠eab＝∠bad，设dc＝kbd，试探究ec与ea的数量关系。
5、如图，△abc中，ad是bc边上的中线，∠cad＝∠b，ac＝kab，e在ad延长线上，∠ced＝∠adb，探究ae与ad的关系。
6、如图，∠bac＝90°，ad⊥bc，de⊥ab, ab＝kac，探究be与ae是数量关系。
2014年
23．将图8（1）中的矩形abcd沿对角线ac剪开，再把△abc沿着ad方向平移，得到图8（2）中的△a?bc?，除△adc与△c?ba?全等外，你还可以指出哪几对全等的三．．．角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．
b c
图8（2）
？
2014年
21．如图10，在△abc中，点d，e分别是ab，ac边的中点，若把△ade绕着点e顺时针旋转180°得到△cfe．
（1）请指出图中哪些线段与线段cf相等；
（2）试判断四边形dbcf是怎样的四边形？证明你的结论．
bf图10
2014年
21．如图8，在△abc中，d是bc的中点，de?ab，df?ac，垂足分别是e，f，be?cf．
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
e d 图8 c
2014年
23．如图11，pa、pb是半径为1的⊙o的两条切线，点a、b分别为切点，？apb?60°，op与弦ab交于点c，与⊙o交于点
d．
（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
图11
2014年
21、某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图8所示，已知ac?bc?8m，？a?30°，cd?ab，于点d．
（1）求？acb的大小。
（2）求ab的长度。
c a d 图8 b
23．如图10，已知rt△abc≌rt△ade，？abc?？ade?90°，bc与de相交于
eb．点f，连接cd，
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举。
（2）求证：cf?ef.
a df b c 图10
2014年
23．如图，点b、f、c、e在同一直线上，并且bf＝ce，∠b＝∠c． (1)请你只添加一个条件（不再加辅助线），使得△abc≌△def．
你添加的条件是：． f (2)添加了条件后，证明△abc≌△def．
2014年
22．如图所示，∠bac=∠abd=90°，ac=bd，点o是ad，bc
的交点，点e是ab的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断oe和ab的位置关系，并给予证明．
2014年
23、如图11，在菱形abcd中，ac是对角线，点e、f
分别是边bc、ad的中点。 c e
（1）求证：abe≌cdf。
（2）若∠b=60°，ab=4，求线段ae的长。
图11
1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段_________.
推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.
2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段___________.
3、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于
_________________；
相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；
4、 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
5、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.
o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.
6、圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.
7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.
8、相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等。
割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；
圆心和这点的连线平分_____的夹角。
龙文教育浦东分校学生个性化教案
学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27
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【教材研学】
一、命题
1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．
2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．
3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．
二、互逆命题
1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．
2．说明：
（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．
三、互逆定理
1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．说明：
（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．
所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．
【点石成金】
例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）直角三角形的两个锐角互余；
（3）对顶角相等．
分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．
（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．
（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明
对顶角”．
名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．
例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗？
分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．
解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．
名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．
例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
解：选①②③作为题设，④作为结论．
已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．） ∴BD=CE．
名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．
【练习】
1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________
2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()
（2）任何一个定理都有逆定理．()
【升级演练】
一、基础巩固
1．下列语言是命题的是()
A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗
C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等
2．下列命题的逆命题是真命题的是()
A．直角都相等B．钝角都小于180。
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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等
3．下列说法中，正确的是()
A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题
D．定理、公理都应经过证明后才能用
4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()
A．全等三角形的对应角相等
B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形
C．等边三角形是锐角三角形
D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
5．证明一个命题是假命题的方法有__________．
6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。
7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。
二、探究提高
8．下列说法中，正确的是()
A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理
c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题
9．下列定理中，没有逆定理的是()
A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余
c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行
三、拓展延伸
10．下列命题中的真命题是()
A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角
c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角
11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()
A．0个B．1个C．2个D．3个
22
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几何证明
1、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数
2、已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系
3、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。
4、如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF
AEFCD B
5、 如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：
AD//BC。
6、如图，已知AB//CD，B40，是BCE的平分线，
A
D
F
B
C
E
CM，求BCM的度数。
7、如图若FD//BE，求123的度数
A
N
M
C
D
E
第三题
o
8、如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度
数
第四题
9、已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数
第五题
10、，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？
B
11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围
（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围
oo
12、 在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35
oo
求BAE的度数
A50oD44 13. 已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o
求E的度数。
E
o
14、 ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长
线于F，求证：AF=CD
第22题
15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE
第23题
16、 AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ
o
17、 中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE
第25题
ab1、如图，在梯形abcd中，ab∥cd，∠bcd=90°，
且ab=1，bc=2，tan∠adc=2.
（1） 求证：dc=bc;
（2） e是梯形内一点，f是梯形外一点，且∠edc=
∠fbc，de=bf，试判断△ecf的形状，并证
明你的结论；
（3） 在（2）的条件下，当be：ce=1：2，∠dcbec=135°时，求sin∠bfe的值。
2、已知：如图，在□abcd 中，e、f分别为边ab、cd的中点，bd是对角线，ag∥db交cb的延长线于g．
（1）求证：△ade≌△cbf；
（2）若四边形 bedf是菱形，则四边形agbd
是什么特殊四边形？并证明你的结论．
f
3、如图13－1，一等腰直角三角尺gef的两条直角边与正方形abcd的两条边分别重合在一起．现正方形abcd保持不动，将三角尺gef绕斜边ef的中点o（点o也是bd中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当ef与ab相交于点m，gf与bd相交于点n时，通过观察或测
量bm，fn的长度，猜想bm，fn满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺gef旋转到如图13－3所示的位置时，线段fe的延长线与ab的延长
线相交于点m，线段bd的延长线与gf的延长线相交于点n，此时，（1）中的猜
想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
a（ b( e ）图13－1 图13－2
图13－3
1、[解析] （1）过a作dc的垂线am交dc于m,
则am=bc=2.
又tan∠adc=2,所以dm?
（2）等腰三角形。
证明：因为de?df,？edc?？fbc,dc?bc.
所以，△dec≌△bfc 2?1.即dc=bc. 2
所以，ce?cf,？ecd?？bcf.
所以，？ecf?？bcf?？bce?？ecd?？bce?？bcd?90? 即△ecf是等腰直角三角形。
（3）设be?k,则ce?cf?
2k，所以ef?。
因为？bec?135?，又？cef?45?，所以？bef?90?。
所以bf?？3k 所以sin?bfe?k1?。 3k3
2、[解析] （1）∵四边形abcd是平行四边形，
∴∠1＝∠c，ad＝cb，ab＝cd ．
∵点e 、f分别是ab、cd的中点，
∴ae＝11ab ，cf＝cd ． 22
∴ae＝cf
∴△ade≌△cbf ．
（2）当四边形bedf是菱形时，
四边形 agbd是矩形．
∵四边形abcd是平行四边形，
∴ad∥bc ．
∵ag∥bd ，
∴四边形 agbd 是平行四边形．
∵四边形 bedf 是菱形，
∴de＝be ．
∵ae＝be ，
∴ae＝be＝de ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠adb＝90°．
∴四边形agbd是矩形 3[解析]（1）bm=fn．
证明：∵△gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，
∴ ∠abd =∠f =45°，ob = of．
又∵∠bom=∠fon，∴ △obm≌△ofn ． ∴ bm=fn．
（2） bm=fn仍然成立．
（3） 证明：∵△gef是等腰直角三角形，四边形abcd是正方形，
∴∠dba=∠gfe=45°，ob=of．
∴∠mbo=∠nfo=135°．
又∵∠mob=∠nof，∴ △obm≌△ofn ．∴ bm=fn．
2013几何证明
1、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图，在ABC
中，C900,A600,AB20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接
圆交于点E,则DE的长为_____
_____
2、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图， △ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦， 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB =
AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为
______.
3、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））（几何证明选讲选做题）如图，AB
是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若
AB6,ED2,则BC_________.
E
第15题图
4、（2013年高考四川卷（理））设P1,P2,，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到
P1,P2,，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1,P2,，Pn点的一个“中位点”。例如，线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点。则有下列命题:
①若A,B,C三个点共线，C在线AB上，则C是A,B,C的中位点；[来源:学#网]②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A,B,C,D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是____________.（写出所有真命题的序号数学社区）
5、（2013年高考陕西卷（理））B. （几何证明选做题） 如图， 弦AB与CD相交于O内一点E, 过E作
BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE=_____.
6、
（2013年高考湖南卷（理））如图2,O中，弦AB,CD相交于点
P,PAPB
2,PD1,则圆心O到弦CD的距离为____________.
7、（2013年高考湖北卷（理））如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射
影为E.若AB3AD,则CE
EO的值为___________. C
A
B
第15题图
8、（2013年高考北京卷（理））如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆11.修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分。
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC2OC O相交于D.若PA=3,PD：DB9：16,则PD=_________;AB=___________.
求证:AC2AD[来源:学。科。网]
9、选修4—1几何证明选讲:如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点
D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆。
(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径；
(Ⅱ)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值。
10、选修4-1:几何证明选讲
如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于
C，EF,垂直于F,连接AE,BE.证明:
(I)FEBCEB;(II)EF2ADBC.
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学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27
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【教材研学】
一、命题
1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．
2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．
3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．
二、互逆命题
1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．
2．说明：
（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；
（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；
（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．
三、互逆定理
1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．说明：
（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．
（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．
所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．
【点石成金】
例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）直角三角形的两个锐角互余；
（3）对顶角相等．
分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．
（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．
（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明
对顶角”．
名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．
例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗？
分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．
解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．
名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．
例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
解：选①②③作为题设，④作为结论．
已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．
名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．
【练习】
1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________
2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()
（2）任何一个定理都有逆定理．()
【升级演练】
一、基础巩固
1．下列语言是命题的是()
A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗
C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等
2．下列命题的逆命题是真命题的是()
A．直角都相等B．钝角都小于180。
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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等
3．下列说法中，正确的是()
A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题
D．定理、公理都应经过证明后才能用
4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()
A．全等三角形的对应角相等
B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形
C．等边三角形是锐角三角形
D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
5．证明一个命题是假命题的方法有__________．
6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。
7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。
二、探究提高
8．下列说法中，正确的是()
A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理
c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题
9．下列定理中，没有逆定理的是()
A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余
c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行
三、拓展延伸
10．下列命题中的真命题是()
A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角
c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角
11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()
A．0个B．1个C．2个D．3个
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西华师范大学文献信息检索课综合实习报告
检索课题（中英文）：浅谈几何证明 On the geometric proof
一、课题分析
几何是研究空间结构及性质的一门学学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何分为平面几何与立体几何、微分几何、内蕴几何、拓扑学。几何证明则是根据一些特定规则和标准，有公理和定理推到出几何命题的过程。我们则重点研究最为简单的平面几何和立体几何的简单证明。
几何证明的基本步骤分为：1.分析—分析图形的切入点及所求。2.证明—做出辅助线，综合运用定理，找出已知未知的联系或推翻命题的假设。3.整理—规范作答。对于任给我们一个简单的几何证明我们都可以应用这个三个步骤，但是每个题都有它的重难点，对于不同内型的几何证明题我们必须从不同的角度、不同的切入点、不同的方法去证明这个命题的正确与否。
常见的几何证明方法有反证法、数学归纳法、构造法、非构造性证明、穷举发、换质位法„这几种方法是我们最常用的方法。初高中的几何证明题里几乎的能用这几种方法解决。几何证明是初高中的一个重点，是学好几何的关键，所以掌握几何证明题的证明方法是比不可少的。而几何证明题的方法都是从推理证明和探索规律做起的，怎样培养这个推理证明和探索规律的能力那就是我们平时练习中必须解决的问题。
几何证明有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。有助于提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。
几何证明题是初高中几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，到目前为
止还没有其他课程能够代替几何的这种地位。其次几何证明还包括直观、想象、探究和发现的因素，这些对培养学生的创意也非常有利。所以学好几何证明对于
一个初高中学生来说是非常重要的。本文就对几何证明的关键、要点和学习展开
检索讨论。
二、选择检索工具
由于报告要求，我们将进入西华师范大学图书馆网站
http:///libweb/index.asp的“电子资源”各数据库查找课题相关
文献信息资料，辅助以手工检索和纸本期刊以及因特网上资源。
三、确定检索方法和途径
检索方法：直接法，抽取法和综合法。初定了一些检索词：（几何证明平
面几何空间几何），进行第一轮检索，主要通过
http:///libweb/index.asp，检索出了大批文献，然后进行了筛选，选择了最新的文献，通过阅读文献有受到启发，增加了一些检索词，他们是：分
析研究应用。经过第二轮检索又查出另外一些相关主题的文献。综合了根
据时间，类目和数据库等的抽取和题目直接的搜索。
主要检索途径：关键字，题名
四、检索结果
1、从中国期刊全文数据库(KI-CJFD)，维普中文科技期刊数据库(VIP)中文全
文数据库中进行全文检索
数据库1：中国期刊全文数据库(KI-CJFD)年限：2008-2012
检索式：几何证明 分类号:“O*” 标题:“几何证明”+关键词:“几何证明” 日
期:2008-2012
限定类目：理工A（数学物理力学天地生）、教育科学。
检出篇数：188个
题录1：罗江林的 如何学习几何证明来自《课外阅读：中下》 2012年 第5期
题目2：许琴 的 一类平面几何的求职问题的向量解法来源《新课程。中学》2012年第一期
题目3：丁运来 的 对初中生几何证明题过程书写的教学分析 来源《学生之友。初中版》2012年第一期
题目4：刘延升 的2011年高考平面几何与解析 来源《理科考试研究。高中版》2012年第一期
数据库2 ：万方数据知识平台期刊数据库
年限：2008-2012
限定类别：数学科学和化学文化、科学和教育
检索式：几何证明 分类号:“O*” 标题:“几何证明”+关键词:“几何证明” 日期:2008-2012
检出篇数：31篇
题录1：令标几个几何定理的几何纯几何证明来源《中学数学杂志。初中版》2008.02
题录2：龚洁林平面向量中“心”问题来源《新高考：高三语文数学外语》2011.12
题录3：龚晓兰一个“数学问题”几何证明来源《数学通报》2009.48
（5）
数据库3：CALIS联合目录公共检索
年份：不限
检索式：题目=“几何证明”
检出篇数：4篇
题录1：高中数学教学参考书。几何证明选讲单墫 冯惠愚南京。江苏教育出版社。2008馆藏：北京师范大学图书馆
题录2：几何证明题与作图题。 赵华， 季家南京。江苏人民出版社1956馆藏：辽宁大学图书馆
数据库4：亚马逊图书
检索：图书题目=“几何证明”
题目1：平面几何分类证明李中正西南师范大学出版社2011年07月出版
题目2：几何定理机器证明的基本原理吴文俊科学出版社1984-08出版
数据库5：万方会议论文库
年份：不限
限定类别：数学科学和化学中的数学
检索式：题目=“几何证明”
检出篇数：29篇
题录1：欧式几何的公理体系和我过平面几何课本的历史演变
作者单位：首都师范大学
会议名称：首都师范大学课程报告论坛
主办单位：高等教育出版社
会议时间：2005年11月5日
题录2：欧拉与数学之美
作者单位：华东交通大学，南昌 330013
会议名称：纪念欧拉诞辰300周年暨《几何原本》中译400周年数学史国际会议
会议时间：2007年10月11日
主办单位：中国数学会，国际数学史委员会，四川师范大学
数据库6：万方外文文献检索
年限：2008-2012
限定类别：数学科学和化学文化、科学和教育
检索式：题目=“geometric proof”
检出篇数：160篇
题录1：A geometric non-existence proof of an extremal additive code
作者：Bierbrauer, J. ；Marcugini, S. ；Pambianco, F.期刊：Journal of Combinatorial Theory. Series ASCI2010,117（2）
题录2：Geometric Proof of a Ramsey-Type Result For Disjoint Empty Convex Polygons I作者：Bhaswar B. Bhattacharya ；Sandip Das
期刊：Geombinatorics2010,19（4）
五、检索结果的分析与综合。
几何证明题是初高中几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，到目前为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位。其次几何证明还包括直观、想象、探究和发现的因素，这些对培养学生的创意也非常有利。
几何证明在数学学习必不可少的一部分。就拿四川省2010年高考数学理科题来说，几何题在其中占有大的一部分（选择题4道、填空题2道、解答题2道）。而几何证明题占其中的三分之一，即使分值不是很大，但如果你学好了几何证明，那么你的几何题也就迎刃而解。
那么如何才能学好几何证明呢？首先我们来讨论几何证明中遇到的主要困难。困难一几何证明中的逻辑要求非常严格迫使很多学生认为几何很抽象，不白我们究竟要做什么？困难二缺乏基本的逻辑，对一些数学常识性问题都不明白，导致对几何证明的语言表述不准确。怎样克服以上困难就是许多老师和学生所面临的问题。从许多学生的学习经验和老师的教学经验我们可以总结出学习几何证明非常重要的三点。第一，正确掌握几何用语，平时多整理几何定理和公理。第二，掌握几何证明的基本定理和公理的应用，以及一些常见的证明方法。第三，注重几何证明的分析思路的学习，学会一体多证。以及平时多加练习。
对于中学数学来说学习几何主要是要在脑中形成题目中所给出条件的几何图形！至于怎么形成几何图形就要平时多注意这几个方面：第一记住课本中给出的定理和公理，并要自己动手推到下以便加深印象。做到熟记活用。第二平时做题目的时候尽量画出每个几何题目的图形。这样有助于你可以充分运用到题目中的条件，不会出现大的遗漏。虽然这样做题慢，耗时长，但是有助于你将来做大题难题是的一种感觉的形成，就是我们所说的灵感。
如果打到以上几点，那么对于初高中的几何证明题对你来说就已经是小菜一碟了。
以上谈论的是初高中怎样学好几何证明，那么接下来我们探讨一下中外对几何证明的研究。中国对几何证明的研究起源很早，如祖冲之对圆周率的计算、勾股定理的证明„但中国经历封建社会就几乎没有前进。正是那几个世纪外国对几何的证明确实突飞猛进。出现了很多出名的数学家如欧拉、阿基米德、费马笛卡尔 等。最经几十年来中国随着大学教育的普及度于这方面的研究也取得了很大的成果。随着数学家在几何上的不断发展，几何已向原来的欧式空间逐渐发展到其他几个大的几何分支学上。比如，微分几何、内蕴几何、拓扑学等。这些分支学的难度远远大于欧式几何空间。